Numération positionnelle - base (Freesette)

Notre système est un exemple de numération dite de "position".

3 principes fondamentaux

• la valeur d'un signe dépend de sa position dans l'écriture du nombre.

• cette valeur représente des groupements d'unités (dizaines, centaines, milliers... dans notre système décimal).

• la méthode de groupements est régulière. Le groupement contient toujours le même nombre d'éléments pouvant être échangés contre l'unité supérieure, quel que soit l'ordre de cette unité. La valeur de cette échange s'appelle la base. Ex : en base de 10, on peut échanger une dizaine contre dix unités, une centaine contre 10 dizaines...

2 principes complémentaires

Pour être efficace et sans ambiguïté, une numération de position doit permettre l'écriture des nombres à l'aide d'une suite de chiffres, ce qui nécessite :

• le nombre de signes différents permettant l'écriture des nombres est égal à la base : Il faut vingt signes différents en base 20 de manière à ce que chaque position ne soit occupée que par un seul signe et non par des signes composés. En base 10, 10 signes : 0,1,2...,9.

• Un des signes a pour fonction de signaler l'absence de groupement d'une certaine unité : c'est le zéro. Dans 102, il n'y a pas 0 dizaine, mais 10 dizaines pour qui ont été groupées pour faire une 100aine. Le chiffre des dizaines est bien 0, mais le nombre de dizaines, est 10.

Décomposition en base 10

Pour le nombre qui s'écrit en base 10 hgfedcba (avec trait supérieur), on a l'égalité fondamentale :

   hgfedcba (trait supérieur) = hx10(puis.7) + gx10(puis.6) + fx10(puis.5) +
   ex10(puis.4) + dx10(puis.3) + cx10(puis.2) + bx10(puis.1) + ax10(puis.0). Rappelons
   que 10(n) = 10x10x10....x10 = 10000000000...0