Géométrie - Le cercle (Freesette)
Sommaire
Positions relatives d'une droite et d'un cercle
Soit C le cercle de centre O et de rayon R, d une droite et I le pied de la perpendiculaire abaissée de O sur d. Le nombre de points d'intersection du cercle C avec la droite d dépend de la distance du centre O à la droite d, la distance OI.
Si OI est supérieur à R
Il n'y a pas de point d'intersection, la droite d et le cercle C ne sont pas sécants. On dit aussi que la droite est extérieure au cercle.
Si OI = R
Il existe un point d'intersection et un seul. La droite est tangente au cercle. De façon plus précise, on dit que la droite est tangente au cercle C en I. La tangente a un cercle en l'un de ses points est la perpendiculaire en ce point au rayon issu de ce point. Cette propriété donne une méthode de construction de la tangente à un cercle en l'un de ses points.
Si OI est inférieur à R
Il y a deux points d'intersection (distincts), la droite d et le cercle C sont sécants. Si on nomme ces points M et N, [MN] est une corde du cercle C. I est alors le milieu du segment [MN].
Si OI=0 alors I est le centre du cercle C et [MN] en est un diamètre.
Positions relatives de deux cercles
Etant donné des cercles C et C', de centres respectifs O et O', de rayons respectifs R et R' (on fait l'hypothèse que R est supérieur ou égal à R'), le nombre de leurs points d'intersection est fonction de la distance OO' des deux centres.
Si OO' supérieur à R+R'
Il n'y a pas de point d'intersection. Les cercles sont dits extérieurs l'un à l'autre.
Si OO'=R+R'
Il y a un point d'intersection en I et un seul. On dit que les cercles sont tangents extérieurement (l'un à l'autre). Les points O, I et O' sont alignés.
Si R-R'≺ OO'≺ R+R'
Il y a deux points d'intersection. Les cercles sont dits sécants.
Si O≺OO'=R-R'
Il y a de nouveau un point d'intersection I et un seul. On dit ici que le cercle C' est tangent intérieurement au cercle C. Les points O, I et O' sont alignés.
Si OO'= 0 et R'≺ R
Il n'y a pas de point d'intersection. Les cercles sont dits concentriques (pour dire qu'ils ont un même centre).
Si OO'= 0 et R' = R
Il y a une infinité de points communs. Les cercles sont confondus. Dans ce cas, ils sont concentriques.
En conclusion, deux cercles distincts peuvent avoir 0, 1 ou 2 points communs.
