Dénombrement, combinatoire, logique (Freesette) : Différence entre versions

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(→‎'''Les nombres rationnels, les nombres décimaux''')
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=='''Les nombres réels'''==
 
  
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===L'ensemble des nbres réels===
 
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====Existence de nbres irrationnels====
 
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Ils existent des nombres qui ne sont pas le quotient de nombre entier, ils ne peuvent pas s'écrire sous forme de fraction. Ils sont appelés des nombres irrationnels.
 
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ex :
 
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Pour déterminer la longueur du côté d'un carré de 2cm², il est impossible de trouver un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction. On le note donc √2 et il se lit "racine carrée de 2".
 
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====Propriétés de la racine carrée====
 
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* propriété immédiate : (√2)² = 2
 
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* Autre définition : √2 est la solution positive de l'équation x²=2. Cette équation a deux solutions x²=√2 ou x²= - √2
 
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* Tous les nombres écrits à l'aide d'une racine carrée ne sont pas obligatoirement irrationnel. √4 = 2 et 2 est un nombre rationnel. √3 et √5 sont irrationnels (admis).
 
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====Π (pi)====
 
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Autre exemple : le nombre Π ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction : Π est un nombre irrationnel.
 
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====Ensemble R====
 
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* L'ensemble des nombres rationnels et irrationnels constituent un nouvel ensemble de nombres noté R appelé ensemble des nombres réels.
 
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* Les nombres irrationnels sont très importants pour les calculs (Cf. Pythagore, mesures...), mais dans la pratique ils ne peuvent être qu'approchés par d'autres nombres.
 
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* Il y a une infinité de nombres irrationnels.
 
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* Tous les nombres rationnels sont des nombres réels, on écrit Q ⊂ R.
 
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Conclusion : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R
 
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'''Remarques'''
 
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* N*, Z*, D*, Q*, R* sont les ensembles N,Z,D,Q,R respectivement privés du nombre 0.
 
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* Z+, D+, Q+, R+ sont les ensembles des nombres positifs au sens large associés respectivement à Z,D,Q,R.
 
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* Z-,D-,Q-,R- sont les ensembles des nombres négatifs au sens large associés respectivement à Z,D,Q,R.
 
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* O est à la fois positif et négatif.
 
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====Savoir placer un nombre dans son ensemble d'appartenance====
 
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Cf. le tableau : [[Media:Les ensembles.pdf]]
 
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===Caractérisation des nombres par l'écriture à virgule===
 
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Cf. le tableau : [[Media:Caractérisation des nombres.pdf]]
 
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Conclusions :
 
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* L'écriture à virgule d'un nombre entier présente après la virgule une période une période constituée soit de 0, soit de 9.
 
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* L'écriture à virgule d'un nombre décimal présente après la virgule, à partir d'un certain rang, une période constituée soit de 0, soit de 9.
 
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* L'écriture à virgule d'un nombre rationnel non décimal présente, après la virgule, à partir d'un certain rang une période de chiffres (exceptées les périodes de 0 ou 9).
 
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* L'écriture à virgule d'un nombre irrationnel est constituée d'une infinité de chiffres après la virgule qui ne se répètent pas périodiquement.
 
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===Troncatures, arrondi, encadrement d'un nombre réel===
 
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====Troncature====
 
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Etant donné un nombre réel x et un nombre entier n, la troncature à 10(-n) près de x est le nombre décimal dont l'écriture à virgule s'obtient en gardant la partie entière de x et les n premiers chiffres après la virgule de l'écriture de x.
 
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ex : 3,1415926535... On peut choisir une troncature à 10(-4) (on choisit de garder 4 chiffres après la virgule) = 3,1415.
 
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Le "10" représente la décimale.
 
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====Arrondi====
 
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Etant donné un nombre réel x et un nombre entier n, l'arrondi à 10(-n) près de x est le nombre décimal dont l'écriture à virgule s'obtient à partir de la troncature à 10(-n) près de x :
 
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* si le (n+1)-ième chiffre après la virgule de x est égal à 0,1,2,3,4 alors l'arrondi à 10(-n) près de x est égal à la troncature à 10(-n) près,
 
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* si le (n+1)-ième chiffre après la virgule de x est égal à 5,6,7 ou 9 alors on ajoute 1 au n-ième chiffre de la troncature à 10(-n) près.
 
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En bref : vérifier la décimale juste après la troncature demandée pour pouvoir arrondir juste. Ex : 3,141592653
 
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Arrondi à 10(-3) = 3,142 (car la prochaine décimale est le 5)
 
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Arrondi à 10(-4) = 3,1416
 
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Arrondi à 10(-5) = 3,14159
 
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====Encadrement====
 
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Soit 3 nbres a,b,x tels que a<x<b, on dit que a et b encadrent x. On dit aussi qu'ils constituent un encadrement de x.
 
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* si a et b sont décimaux, on dit alors que cet encadrement est décimal
 
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* si a et b sont des nombres rationnels, alors on dit que cet encadrement est rationnel
 
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* si b-a = 10(-1), alors on dit que cet encadrement est à 10(-1) près.
 
  
 
====Autres exemples====
 
====Autres exemples====

Version du 7 septembre 2006 à 22:09

Source : CNED


Dénombrement, combinatoire, logique : Pistes de résolutions

Les ensembles

2 méthodes proposées :

  • la soustraction simple
  • le schéma récapitulatif

Les symboles à connaître :

  • ∩ : inter (intersection) - "et"
  • ∪ : union (ensemble) - "ou"
  • ∈ : appartenance
  • ∅ : ensemble vide
  • ∩ : ensemble disjoint (ne contient aucun élément) = A∩B=∅
  • Card : cardinal (le cardinal d'un ensemble est le nombre d'éléments de cet ensemble). S'écrit card(P) par exemple.
  • ⊂ : inclusion (un ensemble A est inclus dans un ensemble B si et seulement si tous les éléments de A sont inclus dans B)

Dénombrement ou combinatoire

  • Méthode de l'arbre à "raccourcir" selon l'énoncé (si on demande d'écrire tous les nombres de 3 chiffres contenus par ex. dans 123, réaliser l'arbre. Raccourcir la procédure si on demande combien on peut écrire de nombres de 3 chiffres)
  • Ecrire directement la réponse quand on demande d'utiliser par ex. les 3 chiffres de 256 pour écrire tous les nombres à 3 chiffres.
  • Dans le cas des probabilités, le tableau à double entrée est un outil pour rechercher l'ensemble des cas possibles.

Problèmes de logique

  • Méthode du tableau quand on travaille sur des affirmations portant sur plusieurs personnages / lieux... etc. L'objectif est d'éliminer au fur et à mesure les cas impossibles.
  • Méthode du contre-exemple : l'énoncé affirme quelquechose de faux avec une donnée précise. On peut simplement prouver le contraire par l'utilisation d'une autre donnée et c'est fini. La démonstration est nécessaire quand l'énoncé a exprimé une généralité du type "la somme de 2 nombres entiers pairs est paire". Dans ce cas, il faut fournir la preuve mathématique (= propriété). Celle choisie dans cette exemple est le nombre entier.




Autres exemples

Autres sources

  • Hatier
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