Dénombrement, combinatoire, logique (Freesette)

Dénombrement, combinatoire, logique : Pistes de résolutions

Les ensembles

2 méthodes proposées :

• la soustraction simple
• le schéma récapitulatif

Les symboles à connaître :

•  : inter (intersection) - "et"
• U : union (ensemble) - "ou"
•  : appartenance
•  : ensemble vide
•  : ensemble disjoint (ne contient aucun élément)
• Card : cardinal (le cardinal d'un ensemble est le nombre d'éléments de cet ensemble). S'écrit card(P) par exemple.
•  : inclusion (un ensemble A est inclus dans un ensemble B si et seulement si tous les éléments de A sont inclus dans B)

Dénombrement ou combinatoire

• Méthode de l'arbre à "raccourcir" selon l'énoncé (si on demande d'écrire tous les nombres de 3 chiffres contenus par ex. dans 123, réaliser l'arbre. Raccourcir la procédure si on demande combien on peut écrire de nombres de 3 chiffres)
• Ecrire directement la réponse quand on demande d'utiliser par ex. les 3 chiffres de 256 pour écrire tous les nombres à 3 chiffres.
• Dans le cas des probabilités, le tableau à double entrée est un outil pour rechercher l'ensemble des cas possibles.

Problèmes de logique

• Méthode du tableau quand on travaille sur des affirmations portant sur plusieurs personnages / lieux... etc. L'objectif est d'éliminer au fur et à mesure les cas impossibles.
• Méthode du contre-exemple : l'énoncé affirme quelquechose de faux avec une donnée précise. On peut simplement prouver le contraire par l'utilisation d'une autre donnée et c'est fini. La démonstration est nécessaire quand l'énoncé a exprimé une généralité du type "la somme de 2 nombres entiers pairs est paire". Dans ce cas, il faut fournir la preuve mathématique (= propriété). Celle choisie dans cette exemple est le nombre entier.

Les nombres entiers

Nombres entiers positifs ou naturels

• Déf. : N est l'ensemble des nombres entiers naturels. Ce sont les 1ers nombres créés dans l'histoire de l'humanité.

Aspect cardinal : dénombrer les éléments Aspect ordinal : positionner les éléments dans une série

• Propriétés :

! L'ensemble N est infini ! Chaque nombre naturel "n" a un successeur unique "n+1" ! 0 n'est le successeur d'aucun nombre naturel ! L'ensemble N est ordonné : on peut toujours comparer deux nombres naturels

Ecriture chiffrée des nombres naturels

Notre système

• Un nombre entier est divisible par 25 si et seulement si ses deux derniers chiffres sont 00, 25, 50 ou 75.

Nombres premiers

• Déf. : un nombre entier est premier s'il admet exactement deux diviseurs distincts : 1 et le nombre de lui-même. Il s'agit de 2,3,5,7,11,13,17,19...

• Décomposition d'un nombre entier en un produit de facteurs premiers :

Propriété : tout nombre entier se décompose en un produit unique de facteurs premiers (en bref, dans une multiplication dont le produit est un nombre premier, les nombres utilisés sont aussi des nombres premiers).

• Méthodes pour décomposer en facteurs premiers :

1/ 36 = 4x9 = 2x2x3x3 - On peut écrire 36 = 2²x3² 2/ Diviser le nombre à décomposer successivement par les nombres premiers dans l'ordre croissant qui sont diviseurs jusqu'à l'obtention du quotient 1 Ex : 252

|252 | 2 |- |126 |2 |- |63 |3 |- |21 |3 |- |7 |7 |- |1

252 = 2²x3²x7

Propriétés (admises) : a, b et c sont 3 nombres entiers

• La somme de deux nombres entiers multiples de a est multiple de a
• Si a est multiple de b et b est multiple de c, alors a est multiple de c
• Si un nombre premier a divise bc et si a ne divise pas b, alors a divise c