Dénombrement, combinatoire, logique (Freesette)

Source : CNED

Dénombrement, combinatoire, logique : Pistes de résolutions

Les ensembles

2 méthodes proposées :

• la soustraction simple
• le schéma récapitulatif

Les symboles à connaître :

• ∩ : inter (intersection) - "et"
• ∪ : union (ensemble) - "ou"
• ∈ : appartenance
• ∅ : ensemble vide
• ∩ : ensemble disjoint (ne contient aucun élément) = A∩B=∅
• Card : cardinal (le cardinal d'un ensemble est le nombre d'éléments de cet ensemble). S'écrit card(P) par exemple.
• ⊂ : inclusion (un ensemble A est inclus dans un ensemble B si et seulement si tous les éléments de A sont inclus dans B)

Dénombrement ou combinatoire

• Méthode de l'arbre à "raccourcir" selon l'énoncé (si on demande d'écrire tous les nombres de 3 chiffres contenus par ex. dans 123, réaliser l'arbre. Raccourcir la procédure si on demande combien on peut écrire de nombres de 3 chiffres)

• Ecrire directement la réponse quand on demande d'utiliser par ex. les 3 chiffres de 256 pour écrire tous les nombres à 3 chiffres.

• Dans le cas des probabilités, le tableau à double entrée est un outil pour rechercher l'ensemble des cas possibles.

Problèmes de logique

• Méthode du tableau quand on travaille sur des affirmations portant sur plusieurs personnages / lieux... etc. L'objectif est d'éliminer au fur et à mesure les cas impossibles.

• Méthode du contre-exemple : l'énoncé affirme quelquechose de faux avec une donnée précise. On peut simplement prouver le contraire par l'utilisation d'une autre donnée et c'est fini. La démonstration est nécessaire quand l'énoncé a exprimé une généralité du type "la somme de 2 nombres entiers pairs est paire". Dans ce cas, il faut fournir la preuve mathématique (= propriété). Celle choisie dans cette exemple est le nombre entier.

Les nombres entiers

Nombres entiers positifs ou naturels

Définition : N est l'ensemble des nombres entiers naturels. Ce sont les 1ers nombres créés dans l'histoire de l'humanité. Aspect cardinal : dénombrer les éléments - Aspect ordinal : positionner les éléments dans une série

Propriétés :

• L'ensemble N est infini
• Chaque nombre naturel "n" a un successeur unique "n+1"
• 0 n'est le successeur d'aucun nombre naturel
• L'ensemble N est ordonné : on peut toujours comparer deux nombres naturels

Ecriture chiffrée des nombres naturels

Notre système de numération chiffrée est un système décimal de position. On dit décimal car il existe un signe pour chacune des puissances de 10 (u,d,c,m). On utilise 10 chiffres (de 0 à 9) ; chaque chiffre représente 1 valeur différente selon la position qu'il occupe (ex : 500 = 5 groupements de 100, 63 = 6 groupements de 10 + 3 groupements de 1...etc.).

• "u" est appelé chiffre des unités
• "d", chiffre des dizaines
• "c", chiffre des centaines
• "m", chiffre des unités de mille ou des milliers

Le tableau des numération comporte donc deux colonnes principales - classe des milliers et classes des unités - subdivisées respectivement en "cm"/"dm"/"um" et "c"/"d"/"u".

Autre système de numération : le système de l'Egypte ancienne

Il s'agit aussi d'un système décimal car il y a des signes pour chacune des puissances de 10. A la différence du nôtre, il est "additif" car chaque signe n'a qu'une valeur (puissance de 10). Dans notre système, il suffit en effet de 10 chiffres pour écrire tous les nombres entiers.

Ensemble des nombres entiers relatifs

Définition : dans N, la soustraction n'est pas toujours possible. a-b existe dans N si et seulement si a> ou égale à b. L'ensemble des nombres entiers relatifs est composé de tous les nombres de N et de leurs opposés. Il s'agit de Z. Z = {...-4,-3,... 0,1,2...}

Propriétés :

• O est la fois négatif et positif
• 5 et -5 sont deux nombres opposés. Leur somme est 0
• 3-5 est un nombre de Z et s'écrit -2
• On appelle Z-, l'ensemble des entiers relatifs négatifs (O appartient à Z-)
• On appelle Z+, l'ensemble des entiers strictement positifs (donc pas 0)
• Tous les entiers naturels appartiennent à Z : N C Z
• C'est un ensemble ordonné (sur une droite numérique)

Connaissances utiles

Définition

• Un nombre entier a est divisible par un nombre entier b non nul s'il existe un nombre entier q tel que a=bq (cadre du multiple diviseur)
• a est divisible par b
• b divise a
• a est un multiple de b
• b est un diviseur de a

Critères de divisibilité

• un nombre entier est divisible par ou 2 (ou pair) si et seulement si le chiffre des unités est 0,2,4,6,8. Un nombre pair est donc un nombre divisible par 2.
• un nombre entier est divisible par 5 si le chiffre des unités est 0 ou 5.
• un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
• un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
• un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.
• Un nombre entier est divisible par 25 si et seulement si ses deux derniers chiffres sont 00, 25, 50 ou 75.

Nombres premiers

• Définition : un nombre entier est premier s'il admet exactement deux diviseurs distincts : 1 et le nombre de lui-même. Il s'agit de 2,3,5,7,11,13,17,19...

• Décomposition d'un nombre entier en un produit de facteurs premiers :

Propriété : tout nombre entier se décompose en un produit unique de facteurs premiers (en bref, dans une multiplication dont le produit est un nombre premier, les nombres utilisés sont aussi des nombres premiers).

• Méthodes pour décomposer en facteurs premiers :

1/ 36 = 4x9 = 2x2x3x3 - On peut écrire 36 = 2²x3² 2/ Diviser le nombre à décomposer successivement par les nombres premiers dans l'ordre croissant qui sont diviseurs jusqu'à l'obtention du quotient 1 Ex : 252

|252 | 2 |- |126 |2 |- |63 |3 |- |21 |3 |- |7 |7 |- |1

252 = 2²x3²x7

Propriétés (admises) : a, b et c sont 3 nombres entiers

• La somme de deux nombres entiers multiples de a est multiple de a
• Si a est multiple de b et b est multiple de c, alors a est multiple de c
• Si un nombre premier a divise bc et si a ne divise pas b, alors a divise c

Les nombres rationnels, les nombres décimaux

Ensemble des nombres rationnels

Notions de fraction

• notion de parts d'une unité : une unité représente par ex. une plaque de chocolat. Si on partage la plaque en 4 parts égales, on obtient quatre part appelées "quarts". 3/4 représente par ex. 3 fois 1/4 de la plaque.

• la fraction quotient : si 4 enfants décident de se partager 3 plaques de chocolat de façon équitable, il faut résoudre l'équation 4x = 3 pour connaître la part de chacun. Donc x=3:4=0,75. Chaque enfant recevra 0,75 plaque de chocolat. Ce qui revient à dire que chaque enfant recevra 3 fois 1/4 de plaques (on a divisé en 4 chacune des 3 tablettes) car 3x1/4 = 3/4 = 0,75.

En conclusion : 3/4 est une écriture du quotient de 3 par 4.

Définition

• a et b sont deux nombre entier relatifs (b non nul)
• l'écriture a/b est appelée une fraction
• dans la fraction a/b, a est appelé numérateur et b dénominateur
• a/b est l'écriture d'un nbre x qui est : solution de l'équation bx=a (c'est-à-dire le quotient de a par b) et le résultat d'une mesure "a fois la b-ième partie" de l'unité.

Nombres rationnels

a et b sont deux nombres entiers relatifs. Mais les nombres qui s'écrivent a/b ne sont pas toujours des nombres entiers (cf. 0,75) et n'appartiennent donc pas à Z. Les nombres quotients de deux nombres entiers sont appelés nombre rationnels.

• peut s'écrire sous la forme d'une fraction a/b
• l'ensemble des nombres rationnels est noté Q

Propriétés

Tous les nombres relatifs Z peuvent s'exprimer sous la forme d'une fraction z/1 : tous sont donc des nombres rationnels. On écrit : N c Z c Q

Egalité de deux fractions

• 2 fractions sont égales si elles représentent le même nombre rationnel.

Si a/b est une fraction et k un entier relatif non nul on a l'égalité : kxa / kxb = a/b

• On peut comparer deux fractions par le calcul des quotients. Cette méthode n'est valable que quand on connaît tous les chiffres du quotient.

• Propriété : a/b = c/d si et seulement si ad=bc

a,b,c,d sont des entiers relatifs. b et d ne sont pas nuls.

Simplification d'une fraction

Une fraction peut être simplifiée en divisant son numérateur et dénominateur par un diviseur commun différent de 1 et -1. Une fraction est appelée irréductible quand on ne peut pas la simplifier. Cela revient à dire qu'il n'y a plus de facteurs premiers communs au numérateur et au dénominateur. Pour simplifier une fraction, on peut utiliser la décomposition en facteurs premiers des nombres concernés.

Comparaison de deux nombres rationnels

Règles de comparaison

• si les dénominateurs sont égaux et positifs, la fraction la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur. Pour pouvoir comparer 2 fractions quand les dénominateurs sont différents, on peut chercher un multiplicateur commun aux numérateurs et dénominateurs de ces deux fractions.

• si les numérateurs sont égaux ou positifs et si les dénominateurs sont positifs, la fraction la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur.

• On peut aussi comparer deux fractions en calculant leur quotient. Mais il faut connaître tous les chiffres après la virgule.

• Propriété : entre deux nombres rationnels existe une infinité de nombres rationnels. Quand on doit trouver par ex. un nbre rationnel entre 5/7 et 6/7, une méthode consiste à changer le dénominateur (par un même multiplicateur pour les deux fractions) : 5/7=10/14 et 6/7=12/14. x peut donc être 11/14 (10/14<11/14<12/14).

Ensemble de nombres décimaux

Définition

• Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est une puissance positive (ou nulle) de 10.

• Un nombre est décimal s'il peut s'écrire sous la forme d'une fraction décimale

• Partie entière, partie décimale d'un nombre décimal : soit le nbre décimal 12,35, il peut s'écrire 12+3/10+5/1OO ou 12+35/100.

12 est appelée partie entière du nombre et 35/100, partie décimale.

• l'ensemble des nombres décimaux est noté D.

Propriétés :

• tous les nombres entiers relatifs sont des nombres décimaux. On écrit Z c D.
• 7 peut s'écrire 7,00. On utilise cette écriture dans des soustractions avec nombres décimaux (7,00 - 3,75).
• tous les nombres décimaux sont des nombres rationnels. On écrit D c Q.

3,5 = 35/10...

Différentes écritures d'un même nbre décimal

• avec l'écriture à virgule de Napier : 12,375 (3 est le chiffre des dixièmes, 7 des centièmes, 5 des millièmes)
• sous la forme d'une fraction décimale : 12 375/100
• en décomposant la partie décimale en somme de fractions décimales : 12+3/10+7/100+5/1000
• comme décomposition additive suivant les puissances de 10 : 1x10+2x10(0)+3x10(-1)+7x10(-2)+5x10(-3)

D'autres écritures sont encore possibles.

Caractérisation d'un nombre décimal

• Propriétés : un nombre rationnel d est décimal si et seulement s'il existe un entier naturel n tel que dx10(n) soit un nombre entier relatif.
• Caractérisation d'un nbre décimal par une fraction : un nbre décimal est un nombre rationnel qui peut s'écrire N/2(n)x5(p). N est un entier relatif, n et p positifs ou nuls). Si le dénominateur d'une fraction irréductible a/b est divisible par un nbre premier différent de 2 ou 5, alors cette fraction ne représente pas un nombre décimal.

Comparaison de deux nombres décimaux

L'ensemble D des nombres décimaux est totalement ordonné. Pour comparer 2 nbres décimaux, on compare d'abord les parties entières. Si elles sont égales, la partie décimale en commençant par le chiffre des dixièmes.

Intérêts des nbres décimaux

• entre 2, on peut trouver une infinité de décimaux : les notions de successeurs et de prédécesseurs valables dans les entiers disparaissent.
• ils s'écrivent simplement dans notre système de numération et s'adaptent bien aux opérations.
• On peut approcher de près d'autres nombres : 0,6 < 2/3 < 0,7

Les nombres réels

L'ensemble des nbres réels

Existence de nbres irrationnels

Ils existent des nombres qui ne sont pas le quotient de nombre entier, ils ne peuvent pas s'écrire sous forme de fraction. Ils sont appelés des nombres irrationnels.

ex : Pour déterminer la longueur du côté d'un carré de 2cm², il est impossible de trouver un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction. On le note donc √2 et il se lit "racine carrée de 2".

Propriétés de la racine carrée

• propriété immédiate : (√2)² = 2
• Autre définition : √2 est la solution positive de l'équation x²=2. Cette équation a deux solutions x²=√2 ou x²= - √2
• Tous les nombres écrits à l'aide d'une racine carrée ne sont pas obligatoirement irrationnel. √4 = 2 et 2 est un nombre rationnel. √3 et √5 sont irrationnels (admis).

Π (pi)

Autre exemple : le nombre Π ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction : Π est un nombre irrationnel.

Ensemble R

• L'ensemble des nombres rationnels et irrationnels constituent un nouvel ensemble de nombres noté R appelé ensemble des nombres réels.
• Les nombres irrationnels sont très importants pour les calculs (Cf. Pythagore, mesures...), mais dans la pratique ils ne peuvent être qu'approchés par d'autres nombres.
• Il y a une infinité de nombres irrationnels.
• Tous les nombres rationnels sont des nombres réels, on écrit Q ⊂ R.

Conclusion : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

Remarques

• N*, Z*, D*, Q*, R* sont les ensembles N,Z,D,Q,R respectivement privés du nombre 0.
• Z+, D+, Q+, R+ sont les ensembles des nombres positifs au sens large associés respectivement à Z,D,Q,R.
• Z-,D-,Q-,R- sont les ensembles des nombres négatifs au sens large associés respectivement à Z,D,Q,R.
• O est à la fois positif et négatif.

Savoir placer un nombre dans son ensemble d'appartenance

Cf. le tableau : Media:Les ensembles.pdf

Caractérisation des nombres par l'écriture à virgule

Cf. le tableau : Media:Caractérisation des nombres.pdf

Conclusions :

• L'écriture à virgule d'un nombre entier présente après la virgule une période une période constituée soit de 0, soit de 9.
• L'écriture à virgule d'un nombre décimal présente après la virgule, à partir d'un certain rang, une période constituée soit de 0, soit de 9.
• L'écriture à virgule d'un nombre rationnel non décimal présente, après la virgule, à partir d'un certain rang une période de chiffres (exceptées les périodes de 0 ou 9).
• L'écriture à virgule d'un nombre irrationnel est constituée d'une infinité de chiffres après la virgule qui ne se répètent pas périodiquement.

Troncatures, arrondi, encadrement d'un nombre réel

Troncature

Etant donné un nombre réel x et un

Autres sources

• Hatier