Dénombrement, combinatoire, logique (Freesette)

Source : CNED

Dénombrement, combinatoire, logique : Pistes de résolutions

Les ensembles

2 méthodes proposées :

• la soustraction simple
• le schéma récapitulatif

Les symboles à connaître :

• ∩ : inter (intersection) - "et"
• ∪ : union (ensemble) - "ou"
• ∈ : appartenance
• ∅ : ensemble vide
• ∩ : ensemble disjoint (ne contient aucun élément) = A∩B=∅
• Card : cardinal (le cardinal d'un ensemble est le nombre d'éléments de cet ensemble). S'écrit card(P) par exemple.
• ⊂ : inclusion (un ensemble A est inclus dans un ensemble B si et seulement si tous les éléments de A sont inclus dans B)

Dénombrement ou combinatoire

• Méthode de l'arbre à "raccourcir" selon l'énoncé (si on demande d'écrire tous les nombres de 3 chiffres contenus par ex. dans 123, réaliser l'arbre. Raccourcir la procédure si on demande combien on peut écrire de nombres de 3 chiffres)

• Ecrire directement la réponse quand on demande d'utiliser par ex. les 3 chiffres de 256 pour écrire tous les nombres à 3 chiffres.

• Dans le cas des probabilités, le tableau à double entrée est un outil pour rechercher l'ensemble des cas possibles.

Problèmes de logique

• Méthode du tableau quand on travaille sur des affirmations portant sur plusieurs personnages / lieux... etc. L'objectif est d'éliminer au fur et à mesure les cas impossibles.

• Méthode du contre-exemple : l'énoncé affirme quelquechose de faux avec une donnée précise. On peut simplement prouver le contraire par l'utilisation d'une autre donnée et c'est fini. La démonstration est nécessaire quand l'énoncé a exprimé une généralité du type "la somme de 2 nombres entiers pairs est paire". Dans ce cas, il faut fournir la preuve mathématique (= propriété). Celle choisie dans cette exemple est le nombre entier.

Les nombres rationnels, les nombres décimaux

Ensemble des nombres rationnels

Notions de fraction

• notion de parts d'une unité : une unité représente par ex. une plaque de chocolat. Si on partage la plaque en 4 parts égales, on obtient quatre part appelées "quarts". 3/4 représente par ex. 3 fois 1/4 de la plaque.

• la fraction quotient : si 4 enfants décident de se partager 3 plaques de chocolat de façon équitable, il faut résoudre l'équation 4x = 3 pour connaître la part de chacun. Donc x=3:4=0,75. Chaque enfant recevra 0,75 plaque de chocolat. Ce qui revient à dire que chaque enfant recevra 3 fois 1/4 de plaques (on a divisé en 4 chacune des 3 tablettes) car 3x1/4 = 3/4 = 0,75.

En conclusion : 3/4 est une écriture du quotient de 3 par 4.

Définition

• a et b sont deux nombre entier relatifs (b non nul)
• l'écriture a/b est appelée une fraction
• dans la fraction a/b, a est appelé numérateur et b dénominateur
• a/b est l'écriture d'un nbre x qui est : solution de l'équation bx=a (c'est-à-dire le quotient de a par b) et le résultat d'une mesure "a fois la b-ième partie" de l'unité.

Nombres rationnels

a et b sont deux nombres entiers relatifs. Mais les nombres qui s'écrivent a/b ne sont pas toujours des nombres entiers (cf. 0,75) et n'appartiennent donc pas à Z. Les nombres quotients de deux nombres entiers sont appelés nombre rationnels.

• peut s'écrire sous la forme d'une fraction a/b
• l'ensemble des nombres rationnels est noté Q

Propriétés

Tous les nombres relatifs Z peuvent s'exprimer sous la forme d'une fraction z/1 : tous sont donc des nombres rationnels. On écrit : N c Z c Q

Egalité de deux fractions

• 2 fractions sont égales si elles représentent le même nombre rationnel.

Si a/b est une fraction et k un entier relatif non nul on a l'égalité : kxa / kxb = a/b

• On peut comparer deux fractions par le calcul des quotients. Cette méthode n'est valable que quand on connaît tous les chiffres du quotient.

• Propriété : a/b = c/d si et seulement si ad=bc

a,b,c,d sont des entiers relatifs. b et d ne sont pas nuls.

Simplification d'une fraction

Une fraction peut être simplifiée en divisant son numérateur et dénominateur par un diviseur commun différent de 1 et -1. Une fraction est appelée irréductible quand on ne peut pas la simplifier. Cela revient à dire qu'il n'y a plus de facteurs premiers communs au numérateur et au dénominateur. Pour simplifier une fraction, on peut utiliser la décomposition en facteurs premiers des nombres concernés.

Comparaison de deux nombres rationnels

Règles de comparaison

• si les dénominateurs sont égaux et positifs, la fraction la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur. Pour pouvoir comparer 2 fractions quand les dénominateurs sont différents, on peut chercher un multiplicateur commun aux numérateurs et dénominateurs de ces deux fractions.

• si les numérateurs sont égaux ou positifs et si les dénominateurs sont positifs, la fraction la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur.

• On peut aussi comparer deux fractions en calculant leur quotient. Mais il faut connaître tous les chiffres après la virgule.

• Propriété : entre deux nombres rationnels existe une infinité de nombres rationnels. Quand on doit trouver par ex. un nbre rationnel entre 5/7 et 6/7, une méthode consiste à changer le dénominateur (par un même multiplicateur pour les deux fractions) : 5/7=10/14 et 6/7=12/14. x peut donc être 11/14 (10/14<11/14<12/14).

Ensemble de nombres décimaux

Définition

• Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est une puissance positive (ou nulle) de 10.

• Un nombre est décimal s'il peut s'écrire sous la forme d'une fraction décimale

• Partie entière, partie décimale d'un nombre décimal : soit le nbre décimal 12,35, il peut s'écrire 12+3/10+5/1OO ou 12+35/100.

12 est appelée partie entière du nombre et 35/100, partie décimale.

• l'ensemble des nombres décimaux est noté D.

Propriétés :

• tous les nombres entiers relatifs sont des nombres décimaux. On écrit Z c D.
• 7 peut s'écrire 7,00. On utilise cette écriture dans des soustractions avec nombres décimaux (7,00 - 3,75).
• tous les nombres décimaux sont des nombres rationnels. On écrit D c Q.

3,5 = 35/10...

Différentes écritures d'un même nbre décimal

• avec l'écriture à virgule de Napier : 12,375 (3 est le chiffre des dixièmes, 7 des centièmes, 5 des millièmes)
• sous la forme d'une fraction décimale : 12 375/100
• en décomposant la partie décimale en somme de fractions décimales : 12+3/10+7/100+5/1000
• comme décomposition additive suivant les puissances de 10 : 1x10+2x10(0)+3x10(-1)+7x10(-2)+5x10(-3)

D'autres écritures sont encore possibles.

Caractérisation d'un nombre décimal

• Propriétés : un nombre rationnel d est décimal si et seulement s'il existe un entier naturel n tel que dx10(n) soit un nombre entier relatif.
• Caractérisation d'un nbre décimal par une fraction : un nbre décimal est un nombre rationnel qui peut s'écrire N/2(n)x5(p). N est un entier relatif, n et p positifs ou nuls). Si le dénominateur d'une fraction irréductible a/b est divisible par un nbre premier différent de 2 ou 5, alors cette fraction ne représente pas un nombre décimal.

Comparaison de deux nombres décimaux

L'ensemble D des nombres décimaux est totalement ordonné. Pour comparer 2 nbres décimaux, on compare d'abord les parties entières. Si elles sont égales, la partie décimale en commençant par le chiffre des dixièmes.

Intérêts des nbres décimaux

• entre 2, on peut trouver une infinité de décimaux : les notions de successeurs et de prédécesseurs valables dans les entiers disparaissent.
• ils s'écrivent simplement dans notre système de numération et s'adaptent bien aux opérations.
• On peut approcher de près d'autres nombres : 0,6 < 2/3 < 0,7

Les nombres réels

L'ensemble des nbres réels

Existence de nbres irrationnels

Ils existent des nombres qui ne sont pas le quotient de nombre entier, ils ne peuvent pas s'écrire sous forme de fraction. Ils sont appelés des nombres irrationnels.

ex : Pour déterminer la longueur du côté d'un carré de 2cm², il est impossible de trouver un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction. On le note donc √2 et il se lit "racine carrée de 2".

Propriétés de la racine carrée

• propriété immédiate : (√2)² = 2
• Autre définition : √2 est la solution positive de l'équation x²=2. Cette équation a deux solutions x²=√2 ou x²= - √2
• Tous les nombres écrits à l'aide d'une racine carrée ne sont pas obligatoirement irrationnel. √4 = 2 et 2 est un nombre rationnel. √3 et √5 sont irrationnels (admis).

Π (pi)

Autre exemple : le nombre Π ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction : Π est un nombre irrationnel.

Ensemble R

• L'ensemble des nombres rationnels et irrationnels constituent un nouvel ensemble de nombres noté R appelé ensemble des nombres réels.
• Les nombres irrationnels sont très importants pour les calculs (Cf. Pythagore, mesures...), mais dans la pratique ils ne peuvent être qu'approchés par d'autres nombres.
• Il y a une infinité de nombres irrationnels.
• Tous les nombres rationnels sont des nombres réels, on écrit Q ⊂ R.

Conclusion : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

Remarques

• N*, Z*, D*, Q*, R* sont les ensembles N,Z,D,Q,R respectivement privés du nombre 0.
• Z+, D+, Q+, R+ sont les ensembles des nombres positifs au sens large associés respectivement à Z,D,Q,R.
• Z-,D-,Q-,R- sont les ensembles des nombres négatifs au sens large associés respectivement à Z,D,Q,R.
• O est à la fois positif et négatif.

Savoir placer un nombre dans son ensemble d'appartenance

Cf. le tableau : Media:Les ensembles.pdf

Caractérisation des nombres par l'écriture à virgule

Cf. le tableau : Media:Caractérisation des nombres.pdf

Conclusions :

• L'écriture à virgule d'un nombre entier présente après la virgule une période une période constituée soit de 0, soit de 9.
• L'écriture à virgule d'un nombre décimal présente après la virgule, à partir d'un certain rang, une période constituée soit de 0, soit de 9.
• L'écriture à virgule d'un nombre rationnel non décimal présente, après la virgule, à partir d'un certain rang une période de chiffres (exceptées les périodes de 0 ou 9).
• L'écriture à virgule d'un nombre irrationnel est constituée d'une infinité de chiffres après la virgule qui ne se répètent pas périodiquement.

Troncatures, arrondi, encadrement d'un nombre réel

Troncature

Etant donné un nombre réel x et un nombre entier n, la troncature à 10(-n) près de x est le nombre décimal dont l'écriture à virgule s'obtient en gardant la partie entière de x et les n premiers chiffres après la virgule de l'écriture de x. ex : 3,1415926535... On peut choisir une troncature à 10(-4) (on choisit de garder 4 chiffres après la virgule) = 3,1415. Le "10" représente la décimale.

Arrondi

Etant donné un nombre réel x et un nombre entier n, l'arrondi à 10(-n) près de x est le nombre décimal dont l'écriture à virgule s'obtient à partir de la troncature à 10(-n) près de x :

• si le (n+1)-ième chiffre après la virgule de x est égal à 0,1,2,3,4 alors l'arrondi à 10(-n) près de x est égal à la troncature à 10(-n) près,

• si le (n+1)-ième chiffre après la virgule de x est égal à 5,6,7 ou 9 alors on ajoute 1 au n-ième chiffre de la troncature à 10(-n) près.

En bref : vérifier la décimale juste après la troncature demandée pour pouvoir arrondir juste. Ex : 3,141592653 Arrondi à 10(-3) = 3,142 (car la prochaine décimale est le 5) Arrondi à 10(-4) = 3,1416 Arrondi à 10(-5) = 3,14159

Encadrement

Soit 3 nbres a,b,x tels que a<x<b, on dit que a et b encadrent x. On dit aussi qu'ils constituent un encadrement de x.

• si a et b sont décimaux, on dit alors que cet encadrement est décimal
• si a et b sont des nombres rationnels, alors on dit que cet encadrement est rationnel
• si b-a = 10(-1), alors on dit que cet encadrement est à 10(-1) près.

Autres sources

• Hatier