Notion et types de fonctions (Freesette)

Notion de fonction

Définitions

Fonction
Soit A et B des ensembles. Une fonction ƒ de A dans B est un procédé qui a chaque élément x de A, fait correspondre un élément de B, au plus. C'est-à-dire qu'à tout élément x de A, la fonction ƒ associe :

• soit un et un seul élément de B, qu'on note ƒ(x) lu "ƒ de x" et qu'on appelle image de x par la fonction ƒ.
• soit aucun élément de B.
  

Notation :
ƒ : A → B
x → ƒ(x)
On lit "ƒ est la fonction de A dans B qui a tout élément x de A associe ƒ(x). L'ensemble est appelé ensemble de départ de la fonction ƒ et l'ensemble B est son ensemble d'arrivée.

Exemple
ƒ : Z → R
n → n/n²-4
L'ensemble de départ est Z et celui d'arrivée est R. Si n=3, on obtient ƒ(3)=3/3²-4=3/5 alors que si l'on prend n=2, on ne peut pas calculer ƒ(2) car le dénominateur n²-4 est nul. Donc, par cette fonction, 3 a une image qui est 3/5et 2 n'en a pas.
L'image de 4 par ƒ est 1/3 car ƒ(4)=4/4²-4=4/12=1/3.
Pour exprimer que l'image de 4 par ƒ est 1/3, on peut aussi dire que 4 est un antécédent de 1/3 par ƒ.

On sera amené à chercher parfois ƒ(n+1) ou ƒ(2n)... Pour cela, il suffit de remplacer le "n" qui figure dans l'expression de ƒ(n) par n+1 ou 2n... pertout où on le rencontre :
ƒ(n+1) = n+1/(n+1)²-4 et pour l'autre ƒ(2n)=2n/(2n)²-4

Aspects

La formule permettant le calcul d'une fonction n'est pas la seule méthode pour la déterminer.

Courbes
Des appareils enregistreurs donnent directement des courbes. Même sans formule, une courbe nous permet de trouver des informations sur la fonction qu'elle représente. On peut lire directement les intervalles où la fonction est croissante, pour quelle valeur la variable est minimale...

Tableau de valeurs
Ces tableaux apportent des renseignements ponctuels. Sur un tableau reprenant la valeur du franc de 1901 à 2001 (Media:tableau-francs.jpg CNED, p.83), on peut y lire des valeurs de la fonction v0 qui exprime la valeur de 1 franc de l'année n en franc de 2001 : V0 (1956) = 0,110. On peut en déduire des valeurs de la fonction qui donne la valeur de 1 franc de 1961 en l'année n : V1(n)=8,163/V0(n) etc

Procédés de calcul
Media:Tableau-Courrier.jpg

QUELQUES TYPES DE FONCTIONS

Fonctions affines

• Une fonction f est affine sur un intervalle A s'il existe des nombres réels a et b tels qu'à tout réel x de A, la fonction ƒ associe ax+b. Les nombres a et b sont les coefficients de ƒ ; a est le coefficient de x et b le coefficient constant. Les coefficients a et b sont des constantes réelles, indépendantes de la variable x.
  

Exemple :
ƒ : [1, +∞] → R
x → 1-4x
ƒ est une fonction affine : le coefficient de x est a = -4 et le coefficient constant est b = 1.

• Une fonction ƒ est linéaire sur un intervalle A s'il existe un nombre réel a tel qu'à tout réel x de A, la fonction ƒ associe ax. Le nombre a est le coefficient de ƒ ; a est aussi le coefficient de x. Le coefficient a est une constante réelle, indépendante de la variable x. Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine, c'est une fonction affine dont le coefficient constant est nul.

• Une fonction ƒ est constante sur un intervalle A s'il existe un nombre réel b tel qu'à tout réel x de A la fonction ƒ associe b. Le coefficient constant b est une constante réelle, indépendante de la variable x. C'est aussi un cas particulier de fonction affine. Fonction affine dont le coefficient de x est nul.

Fonction affine par intervalles

Une fonction est affine par intervalles (ou par morceaux) s'il est possible de partager A en intervalles tels que sur chacun d'eux ƒ soit affine.
Ex :
ƒ : [1, +∞] → R
x → -5-2x si x∈ [1,3]
x → -1 si x∈ ]3,17/5[
x → -2+x si x∈ [17/5,+∞[

Propriétés des fonctions affines

Fonctions linéaires

• Une fonction linéaire est entièrement déterminée par la donnée de son coefficient
• Une fonction linéaire est connue si et seulement si on connaît l'image qu'elle donne d'un nombre non nul
• Linéarité : Si ƒ est une fonction linéaire, pour tout couple de réels (u,v) on a :
  

ƒ(u+v) = ƒ(u)+ƒ(v)² et pour tout réel k, ƒ(ku) = kƒ(u)(3)

Fonctions affines

• une fonction affine est entièrement déterminée par la donnée de ses coefficients.
• une fonction affine est connue si on connaît les images qu'elle donne de deux nombres distincts