Outils pour penser l'enseignement & l'apprentissage des mathématiques (Freesette)

Source : Hatier - Préparation au CRPE

Réfléchir aux enjeux & à la finalité

Comme pour l'ensemble des matières, l'enseignement des mathématiques en primaire vise à construire les bases de compétences plus complexes qui seront développées au collège puis au lycée. La continuité est un enjeu fondamental.

Parmi les enjeux plus précis :

• Contribuer à la formation du futur citoyen et à son insertion dans la vie sociale (mathématiques enrichissent d'autres modes de communication) ;
• Envisager cet enseignement dans sa dimension culturelle (culture scientifique caractérisée par des connaissances - donne lieu à des échanges, des débats) ;
• Contribuer à la formation générale de l'élève (expressions orale et écrite, comportement en groupe...) ;
• Penser l'articulation avec d'autres domaines de savoirs.

Avec deux priorités (pointées par les programmes de 2002) :

• La résolution de problèmes ;
• Le calcul mental.

Connaître les objectifs par cycle

2 catégories de concepts peuvent être distingués :

• ceux dits "catégoriels" ou "naturels" sont ceux que tout individu utilise dans la vie de tous les jours (oiseaux). Ils se caractérisent par des propriétés invariantes.
• ceux dits "scientifiques" ou "relationnels" qui sont définis par les relations qu'ils entretiennent avec les autres concepts. Ex : cas de proportionnalité, de fonction...

En primaire, plusieurs concepts sont à maîtriser selon les cycles : Media: Objectifs mathématiques par cycle.pdf

Quelle pédagogie développer ?

3 conceptions de l'apprentissage et de l'enseignement font partie des pratiques habituelles des enseignants :

• La conception transmissive (p.34)
• La conception béhavioriste (p.36)
• La conception socio-constructiviste (p.38) qui permet de mettre en place des "situations-problèmes" (p.40) ; une méthode efficace pour la remobilisation des connaissances acquises dans d'autres situations (bien choisir ses "variables didactiques").

Chacune de ces approches a ses avantages et ses limites (par rapport aux critères de l'analyse conceptuelle indiqués ci-dessous).

Le cas spécifique de la situation-problème

Caractéristiques développées par R. Douady :

• repérer au préalable : conceptions erronées chez les élèves liées à l'acquisition de la connaissance que l'on souhaite enseigner ; procédures lourdes ou sources d'erreurs ;
• les élèves doivent pouvoir facilement s'engager dans la résolution du problème en mobilisant leurs conceptions erronées (pour prendre conscience de leur insuffisance) ;
• les connaissances des élèves doivent être insuffisantes ou peu économiques pour résoudre le problème car on veut qu'ils acquièrent de nouvelles connaissances ;
• les élèves doivent avoir un moyen de contrôler eux-mêmes leurs résultats (gestion spécifique de la classe) ;
• la connaissance que l'on désire voir acquérir par les élèves doit être l'outil le plus adapté pour la résolution du problème à leur niveau (analyse à priori des difficultés, travail sur les variables didactiques) ;
• le problème peut être proposé ou résolu dans plusieurs cadres : géométrique, numérique...

La gestion d'une classe

Dans le cas de la situation-problème, elle est très importante. Le choix déterminé peut être considéré comme faisant partie des variables didactiques. L'objectif le plus important est de procéder à la dévolution du problème à la classe. C'est aux élèves de se sentir responsables du problème.

Phases de la gestion :

• Action : les élèves s'approprient le problème (souvent en groupes) en investissant des connaissances anciennes.
• Formulation : les élèves explicitent par écrit ou oralement les procédures utilisées et les solutions trouvées.
• Validation : convaincre que la solution est valable.
• Institutionnalisation : l'enseignant identifie les nouveaux savoirs et savoir-faire, précise les conventions de langage. Homogénéisation des connaissances de la classe.
• Entraînement, réinvestissement, évaluation

Suivant la nature de la notion enseignée (acquisition concept ou procédure, éléments langagiers, appropriation règle de débat mathématique...), on met en valeur certaines phases : situation d'action, de formulation, de validation.

Les variables didactiques

C'est un élément de la situation que l'enseignement peut modifier et dont le changement entraîne des modifications au niveau des procédures des élèves et au niveau des erreurs que les élèves peuvent faire.

Elles peuvent porter sur (p.45) :

• les données du problème
• les outils mis à disposition
• les contraintes imposées par l'enseignant

Analyser la situation de départ

Avant toute mise en oeuvre d'une approche pédagogique, il est donc essentiel d'analyser :

• la situation de départ (connaissances des élèves, motivation, niveau de difficulté du concept), certains aspects plus pragmatiques (effectifs de la classe, temps pour passer le concept...) et les erreurs que peuvent commettre les élèves.

Cela permet d'étudier au mieux la procédure d'enseignement à mettre en place pour que les élèves comprennent le concept enseigné (approche pédagogique et variables didactiques).

Pour nous aider : la grille d'analyse conceptuelle de G. Vergnaud (à appliquer en amont, mais aussi comme "évaluation").

Selon lui, 4 aspects nous indiquent qu'un élève a assimilé, compris un concept :

• la maîtrise de l'ensemble des savoir-faire (procédures, techniques...) associés au concept ;
• la maitrise de l'ensemble des formes langagières (vocabulaire, expressions, symboles) qui permettent de l'évoquer et d'expliciter propriétés et procédures ;
• la maîtrise de l'ensemble des propriétés, des définitions qui le caractérisent ;
• la maîtrise de l'ensemble des problèmes que le concept permet de résoudre efficacement (mobilisation des nouvelles connaissances / compétences pour résoudre d'autres problèmes).

L'objectif est de tout mettre en oeuvre pour couvrir ces 4 aspects, surtout le 2ème et le 4ème selon les programme de l'Education nationale.

Déterminer les objectifs pédagogiques

L'idée fondamentale est de déterminer ce que l'élève doit être de faire. Deux éléments à prendre en compte : les programmes / l'analyse conceptuelle explicitée ci-dessus

Ce dernier élément permet de classer, organiser ces objectifs :

• quels types de problèmes les élèves doivent-ils savoir résoudre en mobilisant le concept enseigné ?
• Quels sont les savoir-faire à mobiliser ?
• Quelles sont les définitions et propriétés à connaître ?
• Quelles sont les formes langagières qu'ils doivent savoir utiliser ?

Favoriser un certain déroulement de la séquence d'enseignement

Une fois l'approche et les objectifs pédagogiques déterminés, le processus d'enseignement passe par 4 étapes :

• Première rencontre de l'élève avec le concept : organisation liée au mode d'apprentissage de référence ;
• Institutionnalisation des connaissances nouvelles : important que l'enseignant précise aux élèves quel est le savoir nouveau à connaître ;
• Exercices d'application immédiate : nécessaire d'automatiser certains savoir-faire associés au concept. Intérêt à choisir des exercices progressifs et systématiques qui permettent d'automatiser certains savoir-faire et favorisent la manipulation du langage proposé ;
• Problèmes de synthèse et de transfert : mettre en relation le concept nouveau avec d'autres (synthèse ou intégration) ou dans des contextes nouveaux (transfert).

Evaluer

L'analyse conceptuelle indiquée précédemment vient aussi en appui à cette évaluation.

On peut analyser une séquence sur le plan pédagogique (et reconnaître celle appliquée) en reprenant les critères suivants :

• Attitude des élèves
• Attitude de l'enseignant
• Fonction des erreurs dans l'apprentissage
• Qui valide les productions des élèves