Aires dans le plan (Freesette)

Généralités

Aire

L'aire est une grandeur attribuée aux surfaces (régions) du plan. Toute surface occupe une étendue ; cette étendue est ce qu'on appelle l'aire. Les mots "aires' et "superficies" sont synonymes en mathématiques.

Mesure

Supposons que l'on ait choisi une aire de référence u. La mesure a de l'aire A d'une surface avec l'unité u est par définition le nombre de fois que u est comprise dans A. On dit "la mesure de A avec l'unité u est égale à a". On dit aussi "la mesure de A est égale à a u". On écrit A=au.

Langage utilisé

Eviter de confondre 3 notions : surface (c'est un objet géométrique), aire (grandeur) et mesure (un nombre). Il vaudrait mieux en particulier ne pas utiliser le mot surface quand on veut parler d'aire. Il faudrait aussi éviter de dire ou d'écrire que deux surfaces sont égales sous le prétexte qu'elles ont la même aire. Des aires peuvent être égales, mais pas forcément les surfaces : elles peuvent ne pas être superposables.

Pratique des mesures

Unités

Cf. le tableau sur le système métrique :

Système agraire : Media:système agraire.jpg

Changement d'unités

Quand on change d'unités pour mesurer une aire, ce n'est pas l'aire qui change, mais sa mesure : 30 cm²=0,003 m²=0,3 dm²=3000 mm²

Comment trouver la mesure de l'aire d'une surface ?

• Pour certaines surfaces, il existe des formules. Pour le concours, il n'est possible d'utiliser des dimensions mesurées sur le dessin que si le sujet l'autorise explicitement.

• Pour les surfaces planes quelconques, il est souvent commode de les décomposer en surfaces plus simples pour lesquelles il existe une formule de calcul. Ex : la décomposition d'un octogone en 5 carrés et 4 triangles isocèles rectangles permet d'en calculer l'aire. Mescm²=5+4x0,5=7 cm².
  

Media:exemple mesures.jpg

• Si le contour de la surface S est absolument quelconque et en l'absence de formules, les procédés de calcul consistent le plus souvent à encadrer l'aire cherchée par celles de deux polygones proches du contour de S, l'un intérieur à S et l'autre extérieur.
  

Media:exemple aire sans formule.jpg

Formules d'aires pour des surfaces planes

Media:Tableau des formules aire-surfaces planes.pdf

Remarque sur le triangle :
La formule de l'aire d'un triangle est utile pour prouver que deux triangles ont la même aire. En effet, si 2 triangles ont la même base et les hauteurs correspondantes de même mesure, alors les aires des 2 triangles sont égales.