Eléments de base Géométrie (Freesette)

Quelques théorèmes sur les droites

• Etant donné une droite d et un point E extérieur à d, il existe une droite parallèle à d et une seule qui passe par E (axiome d'Euclide).

• Si une droite d est parallèle à une droite d' et si d' est parallèle à une droite d" alors la droite d est parallèle à d" (pour évoquer cette propriété, on parle de la transitivité du parallélisme).

• Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, elles sont parallèles entre elles. En d'autres termes, si d ⊥ d" et si d'⊥ d" alors d ∕∕ d'.

• Réciproquement, si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.

• Etant donné une droite d et un point A, il passe par A une seule droite d' qui soit perpendiculaire à d. La distance du point A à la droite d est la distance de A à I, point d'intersection de de d avec d' qui est la perpendiculaire à d passant par A.

Secteur, angle

Définition secteur

Un secteur du plan est une région du plan délimitée par des demi-droites [Ox) et [Oy) de même origine. Ces demi-droites sont les côtés des secteurs. Le sommet du secteur est l'origine commune aux demi-droites.
Sur un plan, les demi-droites [Ox) et [Oy) délimitent deux secteurs dont la réuion couvre le plan tout entier. Le secteur hâchuré est dit saillant, noté [xOy] (avec un chapeau dessus) ou [AOB] (toujours avec un chapeau dessus...). C'est celui qui contient le segment [AB]. L'autre secteur est dit rentrant, il est noté [xOy] (avec un chapeau retourné dessus) ou [AOB] (idem). C'est celui qui ne contient pas le segment [AB].

Media:Graphique segment.jpg

Cas particuliers

• Quand les demi-droites [Ox) et [Oy) sont confondues, on a un secteur saillant réduit à la demi-droite qu'on appelle secteur nul et un secteur rentrant recouvrant tout le plan qu'on appelle secteur plein.

Angle

• A chaque secteur, on associe une grandeur, son angle qui dans ce cours sera, sauf indication contraire, toujours mesuré en degrés.
• Au secteur saillant [xOy] ou [AOB] (chapeau), on associe un angle (dit saillant aussi), noté xOy (avec chapeau) ou AOB (avec chapeau), dont la mesure est comprise en 0° et 180°.
• Au secteur rentrant, on associe un angle (dit rentrant lui aussi), noté de la même manière, mais avec chapeau renversé, dont la mesure est comprise entre 180° et 360°.
• Des secteurs peuvent être différents et pourtant associés à des angles égaux (même degré de chaque angle).
• Des expressions comme le sommet de l'angle, un côté de l'angle, l'intérieur de l'angle sont employées car elles désignent sans ambiguïté le sommet du secteur concerné, un côté ou l'intérieur.
• Pour exprimer la mesure d'un angle, on écrira par ex. ABC (avec chapeau) = 30°

Exemples de Secteurs

• On dit que des secteurs sont opposés par le sommet s'ils ont même sommet et si les angles des deux secteurs sont plats. Les angles de deux secteurs opposés par le sommet sont égaux.

Media:Graphique secteurs opposés.jpg

• Des secteurs sont adjacents s'ils ont même sommet et s'ils ont un côté commun.

Media:Graphique secteurs adjacents.jpg

• Des angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 90°.

• Des angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 180°.