Géométrie - Autres polygones (Freesette)

Polygones

• n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 3, un polygone à n côtés est une ligne brisée fermée constituée de n segments et n'ayant pas 3 sommets consécutifs alignés. Les segments formant la ligne brisée sont les côtés du polygone.

• un polygone est dit croisé si deux côtés non consécutifs sont sécants.

• une diagonale d'un polygone est un segment joignant deux sommets non consécutifs.

• un polygone est convexe si quels que soient les points P et Q intérieurs au polygone le segment [PQ] est entièrement à l'intérieur du polygone. Dans le cas contraire, le polygone n'est pas convexe. On peut trouver deux points P et Q tels que le segment [PQ] ne soit pas entièrement intérieur au polygone.

• un polygone est régulier lorsque tous ses côtés ont même longueur et lorsque ses angles saillants formés par deux côtés consécutifs sont tous égaux. Lorsque le nombre de côtés est strictement supérieur à 4, le polygone régulier peut être convexe ou croisé. Dans ce dernier cas, on parle de polygone régulier étoilé.

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• si un polygone est régulier, il existe un cercle qui passe par tous ses sommets, on l'appelle cercle circonscrit au polygone et on dit que le polygone est inscrit dans le cercle. Le centre de ce cercle est aussi appelé centre du polygone régulier.

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Quadrilatères particuliers

Parallèlogramme

Définition : un quadrilatère est un parallélogramme s'il a deux paires de côtés opposés parallèles.

Propriétés :

• un quadrilatère est un parallèlogramme si et seulement si ses diagonales se coupent en leur milieu. Ce point est appelé centre du parallèlogramme.
• un quadrilatère convexe est un parallèlogramme si et seulement si ses côtés opposés ont deux à deux même longueur.
• un quadrilatère convexe est un parallèlogramme si et seulement s'il a deux côtés opposés parallèles et de même longueur.

Losange

Définition : un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur.

Propriétés admises :

• un quadrilatère est un losange si et seulement si ses diagonales sont médiatrices l'une de l'autre. Autrement dit, les deux diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.
• Tout losange est un parallèlogramme.

Rectangle

Définition : un quadrilatère est un rectangle si chaque sommet est sommet d'un angle droit.

Propriétés admises :

• Tout rectangle est un parallélogramme.
• Les diagonales d'un rectangle ont même longueur.
• Tout rectangle est inscriptible dans un cercle centré au point d'intersection de ses diagonales.

Carré

Définition : un carré est un rectangle qui a deux côtés consécutifs de même longueur.

Propriétés admises :

• tout carré est un losange.
• tout carré a ses diagonales perpendiculaires et de même longueur.
• tout carré est inscriptible dans un cercle centré au point de rencontre de ses diagonales.

Trapèze

Définition : un quadrilatère convexe est un trapèze s'il a deux côtés opposés parallèles. Le plus grand de ces deux côtés est appelé grande base et le plus petit petite base. Les parallèlogrammes, les rectangles, les losanges, les carrés sont des trapèzes particuliers.

• Trapèze isocèle : un trapèze de bases [AB] et [CD] est un trapèze isocèle si ADC(chapeau)=BCD(chapeau) ou bien si DAB(chapeau)=ABC(chapeau). Les rectangles et les carrés sont des trapèzes isocèles particuliers. Si ABCD est un trapèze isocèle de bases [AB] et [CD] alors (AB)∕∕(CD) et ADC (chapeau)=BCD(chapeau), DAB(chapeau)=ABC(chapeau) et AD=BC.

• Trapèze rectangle : un trapèze est dit trapèze rectangle s'il a un angle droit. Si un quadrilatère est un trapèze rectangle, il a au moins deux angles droits.