Géométrie - Conseils généraux (Freesette)

De CRPE

Le langage géométrique

  • [AB] : désigne le segment d'extrémités A et B
  • AB : la longueur de [AB] ou parfois la distance de A à B
  • (AB) : la droite passant par A et B
  • [AB) : la demi-droite d'origine A passant par B

Constructions géométriques

Quand il est demandé de construire une figure, bien suivre les instructions et éléments fournis dans l'énoncé :

  • On peut être amené à utiliser une règle graduée et quand il s'agit par ex. d'un trapèze, on peut s'aider en dessinant des perpendiculaires sur le segment le plus grand afin de déterminer les extrémités du plus petit.
  • On peut être amené à dessiner à main levé.
  • On peut aussi nous demander de ne pas utiliser de règle graduée, mais un compas.

A quoi s'en tenir ?

  • Sauf autorisation explicite, les méthodes fondées sur le tâtonnement ne sont pas considérées comme valables.
  • Sans autre précision, on peut utiliser tous les instruments de dessin géométrique usuels, mais vérifier si c'est la méthode souhaitée.
  • Quand on demande d'utiliser une règle non graduée et un compas, on attend que les traits de construction intermédiaires soient visibles pour suivre le cheminement de la construction.

Reproductions

Comment effectuer la tâche demandée ?

  • on est obligés de se servir que des instruments autorisés
  • la figure modèle est là pour nous aider à prélever le maximum d'informations. Parfois, des informations écrites sont aussi données.
  • Avant de se lancer dans la reproduction, une phase d'analyse est indispensable : certaines propriétés de la figure peuvent faciliter la reproduction. Il faut donc commencer par chercher à en mettre en évidence. S'il y en a, choisir celles qui rendront la construction plus aisée. Plusieurs méthodes existent donc.

Faut-il rédiger un programme de reproduction ? Justifier le procédé choisi ?

On le rédige seulement s'il est demandé. Quant à la justification, elle n'a pas de sens dans cet exercice. On considère comme vrai ce que les instruments permettent d'observer sur la figure.

Démonstrations géométrique

A quoi s'en tenir ?

En règle générale, en mathématiques, on ne peut affirmer un résultat que si on peut le démontrer. Au concours, certaines démonstrations sont trop techniques pour être exigées de tous les candidats. Il faut donc faire attention à toutes les consignes. Question : quelle est la nature (forme) du quadrilatère JOIL ?

  • Définir : c'est un parallèlogramme.
  • Vérifier : c'est un parallèlogramme + contrôle avec les instruments au niveau du parallèlisme des côtés opposés ou leur égalité de longueur.
  • Démontrer : rédaction de la démonstration
  • Justifier : rédaction de la démonstration
  • Montrez : rédaction de la démonstration

Ce que démontrer veut dire

Il s'agit de présenter un enchaînement logique d'arguments n'utilisant que les données du problème et les résultats du cours.

  • reprise de l'énoncé avec chaque élément donné et ce qu'on en déduit à chaque fois
  • affirmations intermédiaires au fur et à mesure des déductions
  • confirmation de ce que l'on vient de démontrer et réponse à la question posée dans l'énoncée

Exemple :
Soit un carré JOLI. On construit le point E, sur la droite (IL) tel que I soit le milieu de [LE]. Démontrez ou Montrer ou justifier la nature du quadrilatère JOIE.

  • D'après l'énoncé, I est le milieu de [LE] ; on en déduit que EI=IL.
  • D'après l'énoncé encore, JOLI est un carré ; ses côtés opposés sont deux à deux de même longueur, donc JO=IL.
  • On peut donc affirmer que JO=EI
  • Par ailleurs, JOLI étant un carré, ses côtés opposés sont parallèles deux à deux, donc (JO) ∕∕ (IL)
  • Mais les points L,I,E étant alignés, cela revient à dire que (JO)∕∕(EI)
  • Par construction, le quadrilatère est convexe. On vient de démontrer que ses côtés opposés [JO] et [IE] sont parallèles et de même longueur.
  • JOIE est donc un parallélogramme.

Il est donc important de prendre soin de bien expliciter sa pensée, dire ce qui permet d'affirmer ce qu'on écrit, citer les théorèmes, utiliser les connecteurs logiques à bon escient.