Géométrie - Construction de base règle non graduée et compas (Freesette)

De CRPE

Médiatrice d'un segment

Définition

A et B sont deux points distincts donnés. La médiatrice du segment [AB] est l'ensemble des points M du plan équidistants de A et de B, c'est-à-dire tels que MA=MB.

Propriétés

  • la médiatrice du segment [AB] est une droite, c'est la perpendiculaire au segment [AB] qui passe par son milieu.
  • comme toute droite, la médiatrice d du segment [AB] partage le plan en deux demi-plans P1 et P2. Pour tout point P de l'un deux, on a PA≺PB, c'est-à-dire que P est plus proche de A que de B, et pour tout point Q de l'autre, on a QA≻QB, c'est-à-dire que Q est plus proche de B que de A.

Comment prouver qu'une droite d est la médiatrice d'un segment ?

  • on peut prouver que d est perpendiculaire à [AB] et passe par le milieu de [AB].
  • On peut aussi prouver que d contient deux points distincts M et N équidistants de A et de B. Si NA=NB et si MA=MB alors (MN) est la médiatrice de [AB].

Construction à la règle non graduée et au compas

  • Tracer un cercle de centre A et de rayon R quelconque supérieur à la moitié de AB.

Si R ≤ AB/2 les deux cercles ne sont pas sécants.

  • Le cercle de centre B et de même rayon R coupe le premier cercle en deux points I et J qui sont des points de la médiatrice car par construction IA=IB et JA=JB.

La médiatrice du segment [AB] est la droite (IJ). Par cette construction, on obtient aussi le milieu N de [AB].

Media:construction cercles.jpg

Construction à la règle non graduée et au compas de la perpendiculaire à une droite d donnée passant par un point a donné

Si A est extérieur à d

On cherche à placer deux point I et J sur d de telle manière que la perpendiculaire cherchée soit la médiatrice de [IJ]. Pour cela :

  • tracer un cercle de centre A qui coupe d en deux points I et J.
  • tracer un cercle de centre I et de rayon R et le cercle de centre J et de même rayon R. R est choisi de façon à ce que ces cercles se coupent en deux points K et L.

Conclusion : la droite (KL) est bien la perpendiculaire à d passant par A.

Media:construction cercles compas-1.jpg

Si d passe par A

  • tracer un cercle de centre A qui coupe d en deux points I et J.
  • tracer deux cercles de centres respectifs I et J et de même rayon qui se coupent en deux points K et en L.

La perpendiculaire à d passant par A est la droite (KL).

Media:construction perpendiculaire.jpg

Une construction à la règle non graduée et au compas de la parallèle à une droite d donnée passant par un point A donné extérieur à d

  • Placer deux points distincts I et J sur d.
  • Tracer le cercle C1 de centre J et de rayon AI.
  • Tracer le cercle C2 de centre A et de rayon IJ. Les deux cercles ont deux points d'intersection, appeler K celui qui est du même côté que A par rapport à d.

La droite (AK) est la droite cherchée.

Media:construction parallèle-3.jpg

Bissectrice d'un angle

Définition

Etant donné deux demi-droites de même origine délimitant un secteur saillant, il existe une seule autre demi-droite, intérieure au secteur saillant telles que les angles formés par cette demi-droite soient égaux. De même, il existe une seule demi-droite intérieure au secteur rentrant telles que les angles formés par cette dem-droite soient égaux. Les deux demi-droite intérieure et extérieures au secteur sont opposées (par rapport à 0). La droite formée par ces deux demi-droite est bissectrice de l'angle.

Media:Bissectrice.jpg

Propriétés admises

  • Pour un secteur saillant non nul tel que le schéma ci-dessus, la demi-droite intérieure à ce secteur et qui le partage en deux secteurs ayant même angle, peut aussi être définie comme étant l'ensemble des points intérieurs au secteur et équidistants des demi-droites du secteur. Pour tout point M de cette demi-droite, on a MU=MT en appelant U et T les pieds des perpendiculaires abaissées de M sur les deux demi-droites composants l'angle ou le secteur.
  • Tout point P du secteur [xOy] (chapeau) situé à l'intérieur du secteur limité par [Ox) et [Oz) est plus près de [Ox) que de [Oy). Tout point P du secteur [xOy] (chapeau) situé à l'intérieur du secteur limité par [Oy) et [Oz) est plus près de [Oy) que de [Ox).

Media:Points dans un secteur.jpg


Construction à la règle non graduée et au compas

  • Tracer un cercle de centre O et de rayon quelconque. Il coupe les demi-droites [Ox) et [Oy) en I et J respectivement.
  • Tracer des cercles de centres respectifs I et J ayant le même rayon, choisi en sorte que les cercles se coupent. Soit K et L leurs points d'intersection. Au moins l'undeux est intérieur à l'angle xOy (chapeau dessus), par ex. k.
  • Tracer la droite (OK), c'est la bissectrice de l'angle xOy (chapeau).

Media:construction cercles avec bissectrisse.jpg