Géométrie - Le triangle (Freesette)

Construction à la règle non graduée et au compas d'un triangle dont on connaît les longueurs des trois côtés

Si chacune des longueurs est inférieure à la somme des deux autres, il est possible de construire le triangle ; si l'une des longueurs est supérieure ou égale à la somme des deux autres, c'est impossible.
La construction est classique : on trace une droite, on met deux points à partir desquels on trace deux cercles. L'une des jonctions des deux cercles détermine le sommet du triangle et la droite son "socle".

Médianes et centre de gravité

Définition

La médiane issue de A dans le triangle ABC est la droite qui joint le somment A au milieu A' du côté opposé [BC]. Ce nom désigne à la fois la droite (AA'), le segment [AA'] et parfois aussi la longueur AA'.

Propriétés (admises)

• les 3 médianes d'un triangle quelconque ABC sont concourantes. Leur point d'intersection G est le centre de gravité du triangle ABC.
• Le centre de gravité G du triangle ABC est situé aux 2/3 de chaque médiane à partir du sommet, c'est-à-dire que AG=2/3 AA', BG=2/3 BB', CG=2/3CC'.

Hauteurs et orthocentre

Les 3 hauteurs d'un triangle quelconque ABC sont concourantes. Leur point d'intersection H est l'orthocentre du triangle ABC. Les deux figurent correspondent au cas où le triangle n'a que des angles aigus et à celui où le triangle possède un angle obtus, cas où le centre du cercle circonscrit au triangle est extérieur à ce triangle.

Media:orthocentre.jpg

Médiatrices et centre du cercle circonscrit

Les trois médiatrices d'un triangle quelconque ABC sont concourantes. Leur point d'intersection O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, c'est-à-dire l'unique cercle passant par les trois points A,B,C.

Media: Médiatrices.jpg

Bissectrices et centre du cercle inscrit

Les trois bissectrices d'un triangle quelconque ABC sont concourantes. Leur point d'intersection Ω est le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC, c'est-à-dire intérieur au triangle ABC et tangent aux trois côtés. Le point Ω est à l'intérieur du triangle ABC.

La somme des angles d'un triangle est égale à 180°

Si on partage un triangle en 3 parties, qu'on découpe et colorie les parties, puisqu'on réorganise en mettant au même point les trois sommets, on obtient un angle plat.

Triangles particuliers

Triangle isocèle

Définition : un triangle est isocèle s'il a deux côtés de même longueur.

Propriétés admises :

• le triangle ABC est isocèle de sommet principal A si et seulement si les angles B (chapeau) et C (chapeau) sont égaux.
• si le triangle est isocèle de sommet principal A alors les 4 droites : hauteur issue de A, médiane issue de A, bissectrice issue de A et médiatrice base [BC] sont confondues.
• Inversement, si dans un triangle ABC, deux des quatre droites citées ci-dessus sont confondus alors il est isocèle de sommet principal A.

Triangle équilatéral

Définition : un triangle est équilatéral si ses trois côtés ont même longueur.

Propriétés admises :

• un triangle est équilatéral si et seulement si ses angles mesurent tous 60°.
• un triangle est équilatéral si et seulement s'il est isocèle et a un angle de 60°.
• si le triangle ABC est équilatéral alors les points, centre de gravité, orthocentre, centre du cercle circonscrit et centre du cercle inscrit, sont confondus.
• Inversement, si dans un triangle ABC deux des points cités ci-dessus sont confondus, le triangle est équilatéral.

Triangle rectangle

Définitions : un triangle est rectangle s'il a deux côtés perpendiculaires. Le triangle ABC est rectangle en A si A (avec chapeau)=90°, son hypothénuse est le côté opposé à A, c'est-à-dire [BC].

Propriétés admises :

• un triangle ABC est rectangle en A si et seulement si le cercle de diamètre [BC] passe par A ou, ce qui revient au même, si et seulement si le centre de son cercle circonscrit est le milieu de [BC].

Triangle rectangle isocèle

Les angles à la base valent chacun 45°.