Longueurs et distances dans le plan (Freesette)
Sommaire
Généralités
- La longueur est une grandeur attribuée aux lignes. Ces lignes peuvent être composées de segments ou de courbes. La longueur d'une ligne fermée s'appelle son périmètre. Pour un cercle, on dit indifféremment : périmètre d'un cercle, longueur d'un cercle ou circonférence d'un cercle.
- Mesure d'une longueur : supposons qu'on ait choisi une longueur de référence u. La mesure l de la longueur L d'une ligne avec l'unité u est par définition le nombre de fois que u est comprise dans L. On dit "la mesure de L avec l'unité u est égale à l", on dit aussi "la mesure de L est égale à l u". On écrit mesuL=l ou plus simplement L=l u. Ce nomnbre peut être entier, décimal ou même non décimal.
Pratique des mesures
Une unité utilisée en astronomie : l'année lumière qui équivaut à la distance parcourue par la lumière en une année, soit environ 9,46 x 10(12) km.
- Changement d'unités : quand on change d'unités pour mesurer une longueur, ce n'est pas la longueur qui change, mais sa mesure. On peut parfaitement écrire 30 cm = 0,3 m = 3 dm = 300 mm.
- Comment trouver la mesure de la longueur d'un segment ? :
Si on une figure à l'échelle, on peut mesurer la longueur à l'aide d'une règle graduée. On obtient alors une valeur approchée de la mesure (graduations plus ou moins précises... etc.). Dans le cadre du concours, sauf indication contraire, mesurer une longueur avec la règle n'est pas recevable. Il faut essayer de la déduire avec les données du problème. Parfois, il faut utiliser les propriétés des triangles ou quadrilatères particuliers ou faire intervenir les théorèmes de Pythagore, Thalès.
Par ex., quand les extrémités d'un segment sont connues par leurs coordonnées dans un repère orthonormé, on peut déterminer la mesure en utilisant le thèorème de Pythagore. Pour cela, on imagine la formation d'un rectangle à partir des 2 points du segment.
Media:exemple mesure avec Pythagore.jpg
- Comment trouver la mesure de la longueur d'une ligne courbe ? :
En l'absence de curvimètre ou d'un mètre souple, on peut tracer une ligne brisée ℒ ' dont les sommets sont sur la ligne courbe ℒ. En mesurant la longueur ℒ ' de la ligne brisée on obtient une approximation de la mesure de la longueur ℒ de la ligne courbe. Plus les points choisis sont resserés, plus l'erreur est réduite. Pour le concours, la connaissance du périmètre du cercle est exigée.
- Valeur exacte et valeur approchée d'une mesure :
Pour exprimer le résulat d'une mesure physique, il est préférable d'utiliser ≈ ou de fournir un encadrement.
Quand des calculs permettent d'obtenir la mesure exacte, on la donne comme réponse et on donne une valeur approchée si l'énoncé le demande et indique avec quelle précision la donner. Cette valeur approchée est obtenue en tronquant ou en arrondissant convenablement le développement décimal de la valeur exacte fournie par les calculs.
Formules
Rappel des mesures obtenues en utilisant le théorème de Pythagore :
- si le côté d'un carré mesure a, sa diagonale mesure a√2 avec la même unité.
- si le côté d'un triangle équilatéral mesure a, sa hauteur mesure a√3/2 avec la même unité.
- Cf. la mesure d'un segment dans un repère orthonormé ci-dessus.
Mesure du périmètre d'un polygone :
La mesure du périmètre d'un polygone est égale à la somme des mesures des longueurs de ses côtés.
Mesure du périmètre d'un cercle :
La mesure de la circonférence d'un cercle de rayon R est égale à 2ϖR.
Notions de distance
Distance de deux points A et B
La distance de deux points A et B est la mesure de la longueur du segment [AB]. On la note d(A,B) ou AB.
Propriété : en langage courant "la ligne droite est le plus court chemin entre deux points". Si l'on considère toutes les lignes de l'espace dont les extrémités sont A et B, elles ont toutes une longueur supérieure ou égale à AB. On a en particulier l'inégalité triangulaire : d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B) ou AB ≤ AC+CB.
L'inégalité est stricte sauf si A,B et C sont alignés avec C entre A et B.
Distance d'un point M à une droite D
Par un point M extérieur à une droite D, on peut mener une seule droite D' perpendiculaire à D. Soit H le point d'intersection de D avec D'. On appelle "distance de M à D" la mesure de la longueur de [MH]. Si le point M est sur D, alors H = M, la distance de M à D est nulle.
Propriété : si l'on considère toutes les lignes du plan dont une extrémité est M et l'autre un point N quelconque de D, alors leur longueur est supérieure ou égale à MH. En particulier, on a MH ≤ MN. L'inégalité est stricte sauf si N est confondu avec H. En langage courant, on dit que [MH] est le plus court chemin du point M à la droite.
Distance d'un point M à un ensemble de points F
Imaginons que F est une région délimitée par une ligne fermée. N est un point quelconque de cette ligne et M est un point fixe extérieur à F. La mesure de la longueur de [NM] dépend de la position de N sur la ligne bordant F. La valeur minimale de cette mesure quand N se déplace est ce qu'on appelle la "distance de M à F". Les figures ci-dessous montrent les différentes possibilités.
Distance de deux droites distinctes parallèles
La distance de deux droites s'obtient en traçant une perpendiculaire commune D à ces deux droites. La mesure du segment porté par D, délimité par D et D' donne la valeur de cette distance.
Propriété admise : étant donné un nombre a≻0 et une droite D, il existe deux droites D1 et D2 situées à une distance a de D. Les droites D1 et D2 partagent le plan en trois régions
- l'intérieur de la bande limitée par D1 et D2 est l'ensemble des points N tels que la distance de N à D est égale à a ;
- les droites D1 et D2 forment l'ensemble des points N tels que la distance de N à D est égale à a ;
- l'extérieur de la bande limitée par D1 et D2 est l'ensemble des points N tels que la distance de N à D est supérieure à a.
