Nombres réels (Freesette)

L'ensemble des nbres réels

Existence de nbres irrationnels

Ils existent des nombres qui ne sont pas le quotient de nombre entier, ils ne peuvent pas s'écrire sous forme de fraction. Ils sont appelés des nombres irrationnels.

ex : Pour déterminer la longueur du côté d'un carré de 2cm², il est impossible de trouver un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction. On le note donc √2 et il se lit "racine carrée de 2".

Propriétés de la racine carrée

• propriété immédiate : (√2)² = 2
• Autre définition : √2 est la solution positive de l'équation x²=2. Cette équation a deux solutions x²=√2 ou x²= - √2
• Tous les nombres écrits à l'aide d'une racine carrée ne sont pas obligatoirement irrationnel. √4 = 2 et 2 est un nombre rationnel. √3 et √5 sont irrationnels (admis).

Π (pi)

Autre exemple : le nombre Π ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction : Π est un nombre irrationnel.

Ensemble R

• L'ensemble des nombres rationnels et irrationnels constituent un nouvel ensemble de nombres noté R appelé ensemble des nombres réels.
• Les nombres irrationnels sont très importants pour les calculs (Cf. Pythagore, mesures...), mais dans la pratique ils ne peuvent être qu'approchés par d'autres nombres.
• Il y a une infinité de nombres irrationnels.
• Tous les nombres rationnels sont des nombres réels, on écrit Q ⊂ R.

Conclusion : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

Remarques

• N*, Z*, D*, Q*, R* sont les ensembles N,Z,D,Q,R respectivement privés du nombre 0.
• Z+, D+, Q+, R+ sont les ensembles des nombres positifs au sens large associés respectivement à Z,D,Q,R.
• Z-,D-,Q-,R- sont les ensembles des nombres négatifs au sens large associés respectivement à Z,D,Q,R.
• O est à la fois positif et négatif.

Savoir placer un nombre dans son ensemble d'appartenance

Cf. le tableau : Media:Les ensembles.pdf

Caractérisation des nombres par l'écriture à virgule

Cf. le tableau : Media:Caractérisation des nombres.pdf

Conclusions :

• L'écriture à virgule d'un nombre entier présente après la virgule une période une période constituée soit de 0, soit de 9.
• L'écriture à virgule d'un nombre décimal présente après la virgule, à partir d'un certain rang, une période constituée soit de 0, soit de 9.
• L'écriture à virgule d'un nombre rationnel non décimal présente, après la virgule, à partir d'un certain rang une période de chiffres (exceptées les périodes de 0 ou 9).
• L'écriture à virgule d'un nombre irrationnel est constituée d'une infinité de chiffres après la virgule qui ne se répètent pas périodiquement.

Troncatures, arrondi, encadrement d'un nombre réel

Troncature

Etant donné un nombre réel x et un nombre entier n, la troncature à 10(-n) près de x est le nombre décimal dont l'écriture à virgule s'obtient en gardant la partie entière de x et les n premiers chiffres après la virgule de l'écriture de x. ex : 3,1415926535... On peut choisir une troncature à 10(-4) (on choisit de garder 4 chiffres après la virgule) = 3,1415. Le "10" représente la décimale.

Arrondi

Etant donné un nombre réel x et un nombre entier n, l'arrondi à 10(-n) près de x est le nombre décimal dont l'écriture à virgule s'obtient à partir de la troncature à 10(-n) près de x :

• si le (n+1)-ième chiffre après la virgule de x est égal à 0,1,2,3,4 alors l'arrondi à 10(-n) près de x est égal à la troncature à 10(-n) près,

• si le (n+1)-ième chiffre après la virgule de x est égal à 5,6,7 ou 9 alors on ajoute 1 au n-ième chiffre de la troncature à 10(-n) près.

En bref : vérifier la décimale juste après la troncature demandée pour pouvoir arrondir juste. Ex : 3,141592653 Arrondi à 10(-3) = 3,142 (car la prochaine décimale est le 5) Arrondi à 10(-4) = 3,1416 Arrondi à 10(-5) = 3,14159

Encadrement

Soit 3 nbres a,b,x tels que a<x<b, on dit que a et b encadrent x. On dit aussi qu'ils constituent un encadrement de x.

• si a et b sont décimaux, on dit alors que cet encadrement est décimal
• si a et b sont des nombres rationnels, alors on dit que cet encadrement est rationnel
• si b-a = 10(-1), alors on dit que cet encadrement est à 10(-1) près.