Nombres rationnels et décimaux (Freesette)

De CRPE

Ensemble des nombres rationnels

Notions de fraction

  • notion de parts d'une unité : une unité représente par ex. une plaque de chocolat. Si on partage la plaque en 4 parts égales, on obtient quatre part appelées "quarts". 3/4 représente par ex. 3 fois 1/4 de la plaque.
  • la fraction quotient : si 4 enfants décident de se partager 3 plaques de chocolat de façon équitable, il faut résoudre l'équation 4x = 3 pour connaître la part de chacun. Donc x=3:4=0,75. Chaque enfant recevra 0,75 plaque de chocolat. Ce qui revient à dire que chaque enfant recevra 3 fois 1/4 de plaques (on a divisé en 4 chacune des 3 tablettes) car 3x1/4 = 3/4 = 0,75.

En conclusion : 3/4 est une écriture du quotient de 3 par 4.

Définition

  • a et b sont deux nombre entier relatifs (b non nul)
  • l'écriture a/b est appelée une fraction
  • dans la fraction a/b, a est appelé numérateur et b dénominateur
  • a/b est l'écriture d'un nbre x qui est : solution de l'équation bx=a (c'est-à-dire le quotient de a par b) et le résultat d'une mesure "a fois la b-ième partie" de l'unité.

Nombres rationnels

a et b sont deux nombres entiers relatifs. Mais les nombres qui s'écrivent a/b ne sont pas toujours des nombres entiers (cf. 0,75) et n'appartiennent donc pas à Z. Les nombres quotients de deux nombres entiers sont appelés nombre rationnels.

  • peut s'écrire sous la forme d'une fraction a/b
  • l'ensemble des nombres rationnels est noté Q

Propriétés

Tous les nombres relatifs Z peuvent s'exprimer sous la forme d'une fraction z/1 : tous sont donc des nombres rationnels. On écrit : N c Z c Q

Egalité de deux fractions

  • 2 fractions sont égales si elles représentent le même nombre rationnel.

Si a/b est une fraction et k un entier relatif non nul on a l'égalité : kxa / kxb = a/b

  • On peut comparer deux fractions par le calcul des quotients. Cette méthode n'est valable que quand on connaît tous les chiffres du quotient.
  • Propriété : a/b = c/d si et seulement si ad=bc

a,b,c,d sont des entiers relatifs. b et d ne sont pas nuls.

Simplification d'une fraction

Une fraction peut être simplifiée en divisant son numérateur et dénominateur par un diviseur commun différent de 1 et -1. Une fraction est appelée irréductible quand on ne peut pas la simplifier. Cela revient à dire qu'il n'y a plus de facteurs premiers communs au numérateur et au dénominateur. Pour simplifier une fraction, on peut utiliser la décomposition en facteurs premiers des nombres concernés.

Comparaison de deux nombres rationnels

Règles de comparaison

  • si les dénominateurs sont égaux et positifs, la fraction la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur. Pour pouvoir comparer 2 fractions quand les dénominateurs sont différents, on peut chercher un multiplicateur commun aux numérateurs et dénominateurs de ces deux fractions.
  • si les numérateurs sont égaux ou positifs et si les dénominateurs sont positifs, la fraction la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur.
  • On peut aussi comparer deux fractions en calculant leur quotient. Mais il faut connaître tous les chiffres après la virgule.
  • Propriété : entre deux nombres rationnels existe une infinité de nombres rationnels. Quand on doit trouver par ex. un nbre rationnel entre 5/7 et 6/7, une méthode consiste à changer le dénominateur (par un même multiplicateur pour les deux fractions) : 5/7=10/14 et 6/7=12/14. x peut donc être 11/14 (10/14<11/14<12/14).


Ensemble de nombres décimaux

Définition

  • Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est une puissance positive (ou nulle) de 10.
  • Un nombre est décimal s'il peut s'écrire sous la forme d'une fraction décimale
  • Partie entière, partie décimale d'un nombre décimal : soit le nbre décimal 12,35, il peut s'écrire 12+3/10+5/1OO ou 12+35/100.

12 est appelée partie entière du nombre et 35/100, partie décimale.

  • l'ensemble des nombres décimaux est noté D.

Propriétés

  • tous les nombres entiers relatifs sont des nombres décimaux. On écrit Z c D.
  • 7 peut s'écrire 7,00. On utilise cette écriture dans des soustractions avec nombres décimaux (7,00 - 3,75).
  • tous les nombres décimaux sont des nombres rationnels. On écrit D c Q.

3,5 = 35/10...

Différentes écritures d'un même nbre décimal

  • avec l'écriture à virgule de Napier : 12,375 (3 est le chiffre des dixièmes, 7 des centièmes, 5 des millièmes)
  • sous la forme d'une fraction décimale : 12 375/100
  • en décomposant la partie décimale en somme de fractions décimales : 12+3/10+7/100+5/1000
  • comme décomposition additive suivant les puissances de 10 : 1x10+2x10(0)+3x10(-1)+7x10(-2)+5x10(-3)

D'autres écritures sont encore possibles.

Caractérisation d'un nombre décimal

  • Propriétés : un nombre rationnel d est décimal si et seulement s'il existe un entier naturel n tel que dx10(n) soit un nombre entier relatif.
  • Caractérisation d'un nbre décimal par une fraction : un nbre décimal est un nombre rationnel qui peut s'écrire N/2(n)x5(p). N est un entier relatif, n et p positifs ou nuls). Si le dénominateur d'une fraction irréductible a/b est divisible par un nbre premier différent de 2 ou 5, alors cette fraction ne représente pas un nombre décimal.

Comparaison de deux nombres décimaux

L'ensemble D des nombres décimaux est totalement ordonné. Pour comparer 2 nbres décimaux, on compare d'abord les parties entières. Si elles sont égales, la partie décimale en commençant par le chiffre des dixièmes.

Intérêts des nbres décimaux

  • entre 2, on peut trouver une infinité de décimaux : les notions de successeurs et de prédécesseurs valables dans les entiers disparaissent.
  • ils s'écrivent simplement dans notre système de numération et s'adaptent bien aux opérations.
  • On peut approcher de près d'autres nombres : 0,6 < 2/3 < 0,7
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