Numération positionnelle - base (Freesette)

Notre système est un exemple de numération dite de "position".

3 principes fondamentaux

• la valeur d'un signe dépend de sa position dans l'écriture du nombre.

• cette valeur représente des groupements d'unités (dizaines, centaines, milliers... dans notre système décimal).

• la méthode de groupements est régulière. Le groupement contient toujours le même nombre d'éléments pouvant être échangés contre l'unité supérieure, quel que soit l'ordre de cette unité. La valeur de cette échange s'appelle la base. Ex : en base de 10, on peut échanger une dizaine contre dix unités, une centaine contre 10 dizaines...

2 principes complémentaires

Pour être efficace et sans ambiguïté, une numération de position doit permettre l'écriture des nombres à l'aide d'une suite de chiffres, ce qui nécessite :

• le nombre de signes différents permettant l'écriture des nombres est égal à la base : Il faut vingt signes différents en base 20 de manière à ce que chaque position ne soit occupée que par un seul signe et non par des signes composés. En base 10, 10 signes : 0,1,2...,9.

• Un des signes a pour fonction de signaler l'absence de groupement d'une certaine unité : c'est le zéro. Le "0" indique qu'il n'y a pas de dizaines restantes après le groupement des dizaines en centaines. Mais cela ne veut pas dire que dans 102, il n'y a pas 0 dizaine. Il y a 10 dizaines pour qui ont été groupées pour faire une 100aine. Le chiffre des dizaines est bien 0, mais le nombre de dizaines, est 10.

Décomposition en base 10

Pour le nombre qui s'écrit en base 10 hgfedcba (avec trait supérieur), on a l'égalité fondamentale :

   hgfedcba (trait supérieur) = hx10(puis.7) + gx10(puis.6) + fx10(puis.5) +
   ex10(puis.4) + dx10(puis.3) + cx10(puis.2) + bx10(puis.1) + ax10(puis.0). 
   Rappelons que 10(n) = 10x10x10....x10 = 10000000000...0

Exemples

69 éléments en base 5 :

Méthode 1

• faire des groupements en "paquets" de 5. Il reste 4 éléments qui donnent le chiffre des unités : 4.

• on regroupe à nouveau les paquets obtenus par 5. On obtient 2 paquets du deuxième ordre qui correspondent chacun à 25 unités. Il reste 3 paquets de 5 qui n'ont pas été groupés : ce sont 3 "cinquaines".

• on obtient finalement :

2 "vingt-cinquaines" ou 2 groupements du deuxième ordre.
3 cinquaines ou 3 groupements du 1er ordre.
4 points non groupés ou "unités".

Le nombre n de points s'écrit : 234(puis.cinq) avec trait supérieur...

Méthode 2

• On compte d'abord les points : 69. On peut alors essayer de décomposer 69 avec les puissances de 5 en utilisant par ex. ce tableau : Media: tableau puissance de 5.jpg

Dans 69, il y a 2 fois 25 (50) et il reste 19. Dans 19, il y a 3 fois 5 et il reste 4. D'où la décomposition : 69=(2x25)+(3x5)+(4x1) et l'écriture en base 5 : 234 (avec trait supérieur).

Méthode 3

La division.

• On fait des groupements par 5.

• On divise la somme des éléments par 5. On obtient (13x5) + 4. On a donc 13 groupements de 5 et 4 unités isolées.

• On cherche ensuite combien de paquets de 25 en divisant 13 par 5. On obtient 13 = (2 x5) + 3.

• On a donc 2 paquets de 5 paquets de 5 et 3 paquets de 5. On retrouve l'écriture 234 (avec trait supérieur).

ATTENTION : 234(puis.5) avec trait supérieur ne se lit pas "deux cent trente-quatre".