Opérations (Freesette)

Notion d'opération

Produit cartésien

• Définition

Si A & B sont deux ensembles, le produit cartésien de A et de B, noté AxB est l'ensemble de tous les couples dont le premier élément appartient à A et le deuxième à B.

• Exemple

Soit les ensembles A = {1;3;5;7;9} et B = {a;b;c;d}, le produit cartésien de A et B est l'ensemble suivant : {(1;a);(1;b);(1;c);(1;d);.... (9;a);(9;b);(9;c);(9;d)}.

On peut utiliser un tableau à double entrée : d'un côté les éléments de l'ensemble A et de l'autre, ceux de l'ensemble B. On en revient au même résultat.

Loi de composition interne ou opération

• Définition

Etant donné un ensemble de nombres, noté E, on appelle loi de composition interne sur E ou opération un procédé qui, à tout couple de ExE, associe un élément de E.

• Exemple : E={1;2;3}

On y applique le procédé Sup qui, à un couple d'éléments de E, associe le plus grand des deux éléments. On a donc ExE : {(1;1);(1;2);(1;3);(2;1);(2;2);(2;3);(3;1);(3;2);(3;3)}. Le procédé Sup est défini de la manière suivante : Sup (1;1) = 1 et Sup (1;2)= Sup (2;1) = (Sup2;2) = 2 et enfin Sup (1;3) = Sup (2;3) = Sup (3;1) = Sup (3;2) = Sup (3;3) = 3

Quelques propriétés des opérations

On considère un ensemble noté E et une loi de composition interne sur E (ou opération) qui sera notée *. Cette loi associe donc à tous les couples (x;y) de ExE (produit cartésien) un élément de E (que l'on appelle résultat de l'opération) qui sera noté : x * y.

Commutativité

La loi * est dite commutative sur E si pour tout couple (x;y) de ExE, on a :x * y = y * x.

Associativité

La loi * est dite associative sur E si pour tout triplet (x;y;z) d'éléments de E, on a (x * y) * z = x * (y * z)

Conséquence essentielle : lorsqu'une loi de composition interne est associative, on peut se dispenser d'utiliser des parenthèses pour indiquer l'ordre dans lesquels on doit effectuer les calculs.

Elément neutre

Un élément e de E est dit neutre pour * sur E si pour tout x de E, on a : x * e = e * x = x

Symétrique

Supposons que la loi * dispose d'un élément neutre e. On dit alors qu'un élément x de E possède un symétrique pour la loi * s'il existe un élément Xs de E tel que : X * Xs = Xs * X = e

Distributivité

Si le symbole ⊕ désigne une 2ème loi de composition interne sur E, on dit que * est distributive par rapport à ⊕ si pour tout triplet (x;y;z) d'éléments de E, on a : x*(y⊕z) = (x*y)⊕(x*z)