Proportionnalité (Freesette)

Exemples de situation

Vitesse

Les distances parcourues sont reliées aux durées par une fonction linéaire dont le coefficient est la vitesse. Si un mobile se déplace à vitesse constante v (exprimée en km.h.(-1)), il parcourt pendant une durée t (en heures) la distance d=vxt (km).
S'il a parcouru la distance d, la durée du trajet a été de t=d/v

Agrandissement, réduction

• Si on veut agrandir une figure, toutes ses dimensions doivent être multipliées par le même nombre. Le nombre utilisé, coefficient multiplicateur, permet donc de passer des dimensions initiales aux nouvelles dimensions.

• On peut l'écrire sous forme de tableau comprenant les dimensions initiales dans une colonne horizontale et les dimensions nouvelles dans une autre colonne aussi horizontale. Le coefficient multiplicateur (k) relie les deux. Pour chaque dimension d, on applique le coefficient k pour obtenir la nouvelle dimension. Si k>1, il s'agit d'un agrandissement car les dimensions augmentent. Si 0<k<1, il s'agit d'une réduction.

Echelle

• Par ex. dire que l'échelle est 1/2000 signifie que obtenir ce plan, les dimensions sur le terrain ont été divisées par 2000. Si on veut obtenir les dimensions réelles, il faut donc les multiplier par 2000.

• Donc, pour faire une carte ou un plan ou un dessin technique à l'échelle 1/a, on prend les mesures réelles et on les divise par a. Pour utiliser un plan à l'échelle 1/a, c'est-à-dire pour connaître les dimensions réelles de l'objet, on multiplie ses dimensions sur le plan par a.

Pourcentage

• Soit A un ensemble fini ayant a éléments et B une partie de A comportant b éléments. Pour trouver le pourcentage que représente B de A, on commence par chercher le taux b/a d'éléments B parmi ceux de A. Le pourcentage que B représente dans A est obtenu en imaginant que A comporte 100 éléments et que le taux d'éléments de B parmi ceux de A reste égal à b/a. Ceci revient à multiplier le taux par 100. Le % que représente B dans A est b/a x 100.

• Prendre un pourcentage :

a% d'un ensemble revient à réaliser le calcul suivant :
n x (a/100)
n = le nombre d'éléments
a = le pourcentage

et a% d'un nombre c'est le multiplier par a/100.

• Augmentation, diminution de a% :

1ère étape : a x n/100 Puis : soit on retranche, soit on ajoute à n le résultat trouvé.

• Déterminer une augmentation ou une diminution :

On procède à la soustraction de l'élément ancien et de l'élément nouveau (dans cet ordre). On divise ce résultat par l'élément nouveau et on multiplie par 100 pour obtenir le pourcentage : ((n1-n2)/n2) x 100 (Autre version dans le cours)

• Remarque : les pourcentages ne s'ajoutent pas et ne se retranchent pas non plus (car ils ne concernent pas le même ensemble d'éléments).

Expressions de la proportionnalité

Soit x1, x2, x3, ... des mesures d'une grandeur X et y1, y2, y3... les mesures correspondantes d'une grandeur associée Y.
4 définitions équivalentes :

• les mesures de Y sont proportionnelles aux mesures de X s'il existe une constante réelle k telle que y1=kx1, y2=kx2, y3=kx3... On peut utiliser un tableau des proportionnalité avec k comme coefficient de proportionnalité.

• les mesures de Y sont proportionnelles aux mesures de X si aucun dénominateur n'est nul et si on peut aussi écrire y1/x1=y2/x2=y3/x3... La valeur commune à ces rapports est le coefficient de proportionnalité.

• les mesures de Y sont proportionnelles aux mesures de X si les points de coordonnées (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3)... sont alignés avec l'origine.

Propriétés de linéarité

On suppose pour les deux propriétés de linéarité que les suites (a,b,c...) et (m,n,p...) sont proportionnelles. k désigne le coefficient de proportionnalité.

Linéarité additive

• les suites (a,b,c,...a+b) et (m,n,p...m+n) sont aussi proportionnelles
• une autre formulation est possible sous forme de tableau à deux lignes avec chaque groupe de suites.

Linéarité mutliplicative

• Pour tout réel λ (lambda), les suites (a,b,c,..., λa) et (m,n,p... λm) sont aussi proportionnelles.

Résolution d'un problème de proportionnalité

Utilisation d'un coefficient

• coefficient de proportionnalité direct : dans un tableau, on divise le nombre de la 2ème ligne par celui de la première et on obtient le CPD.

1,5 | 0,600
6,96| x
6,95/1,5 = O,4

• coefficient de proportionnalité inverse : dans un tableau, on divise le nombre de la 1ère ligne par celui de la deuxième et on obtient le CPI.

1,5/6,96 = 25/116

• Les coefficients scalaires sont à appliquer d'une colonne à l'autre et non pas d'une ligne à une autre. Ex :
  

1,5 | 0,600
6,96| x
On procéde à la division de O,600 par 1,5 pour trouver le coef. et non pas 6,96 par 1,5 comme dans l'utilisation directe.

Retour à l'unité

Faire un retour à l'unité est rechercher ce qui correspond à 1. Pour calculer par ex. le prix d'un kg de fromage, on divise 6,96/1,5=4,64. Ensuite on multiplie 4,64 par 0,600, donc 0,600 kg de fromage coûte 2,784 €.

Rapports égaux

Du tableau ou directement à partir des données, on peut écrire 1,5/6,96=0,600x(x) ou x/0,600=6,96/1,5. Ce qui donne x = 0,600x6,95/1,5 = 2,784

Produit en croix

C'est une variante de la résolution précédente : 1,5x(x)=6,96x0,600 d'où x=(6,96x0,600)/1,5 = 2,784

Règle de trois

Le coût recherché est obtenu en cherchant le prix unitaire (retour à l'unité) et en multipliant directement par la quantité : (6,96x0,600)/1,5=2,784

Représentation graphique

Soit A le point de coordonnées (1,5;6,96). On trace la droite (0A) et la parallèle d à l'axe des ordonnées d'équation x=0,600. d coupe (OA) en B. L'ordonnée de B est la valeur cherchée.