Résolution de problèmes par l'algèbre (Freesette)

Mise en équations de problèmes mathématiques

Méthodes

• Méthode de fausse position : on démarre avec une hypothèse qui a toutes les chances d'être fausse.
• Méthode experte : la mise en équation.

Synthèse

La résolution experte d'un problème de mathématique passe par les étapes suivantes :

• identification de l'inconnue ou des inconnues du problème (ce que l'on cherche) et choix d'une désignation pour cette ou ces inconnue(s) (une lettre en général).
• Formulation des conditions imposées aux inconnues.
• Mise en équation(s) du problème, en relation avec une lecture approfondie de l'énoncé.
• Résolution technique de l'équation ou des équations obtenues.
• Contrôle du résultat ou des résultats obtenus par report dans l'équation.
• Contrôle par rapport au bon sens (ordre de grandeur...etc.).
• Rédaction de la réponse à la question en n'oubliant pas de faire figurer l'unité.

Résolution d'équations et d'inéquations

Equations du 1er degré

• C'est une égalité qui s'écrit : (1)a x (x) + b = c x (x) + d où les lettres a,b,c,d désignent un nombre et x l'inconnue. On dit que l'équation a deux membres (chacune des expressions qui figurent d'un côté du signe=). Les expressions ax(x), cx(x), b et d sont appelés termes de l'équation.

• Quand on doit résoudre une équation du 1er degré, il est précisé à quel ensemble doit appartenir l'inconnue. On le déduit à l'énoncé (voir le sens du problème).

• Dans les expressions telles que 1, on ne fait généralement pas apparaître le signe x, ce qui permet d'alléger l'écriture. L'équation (1) s'écrit donc : ax+b=cx+d. Si les lettres a,b,c,d prennent la valeur 0, cela modifie la forme de l'équation car certains termes disparaissent.

• Résolution : la résolution technique consiste à regrouper d'un côté du signe = les termes où figurent l'inconnue et de l'autre côté, ceux où ne figure pas l'inconnue. Pour cela, on ajoute ou on soustrait certains termes aux deux membres de l'équation (c'est-à-dire aux deux côtés du signe =). On ne change en effet pas les solutions d'une équation en ajoutant ou en retirant la même quantité à ses deux membres. Ainsi l'équation générale écrite plus haut devient (par ex.) : a x(x)+ b - c x (x)- b = c x(x) + d - c x (x)- b.
  

Cette solution se simplifie en : a x (x) - c x (x) = d-b et le premier membre se simplifie encore grâce à la distributivité de la mutliplication sur la soustraction : a x (x) - c x (x) = (a-c) x (x), d'où finalement : (a-c) x (x)= d - b.
On termine l'équation par une division. Cela est possible dès lors que a-c≠0 car on ne change pas les solutions d'une équation en la divisant ou en la multipliant par un même nombre non nul.
Donc si a-c≠0, on obtient x=d-b/a-c

Exemple numérique :
3x(x)+2 = 7x(x)+4 est équivalent à 3x(x)+2-7x(x)-2 = 7x(x)+4-7x(x)-2
Cette équation se simplifie en 3x(x)-7x(x) = 4-2
(3-7)x = 4-2
-4x = 4-2
Finalement : -4x=2 et x = -2/4 = -1/2

Système de deux équations à deux inconnues

Un système de deux équations du 1er degré à deux inconnues s'écrit dans le cas le plus général :

(a1 x (x) + b1 x y = c1
(a2 x (x) + b2 x y = c2

La première phase de la résolution consiste à éliminer l'une des inconnues (par ex y) dans l'une des équations. On aboutit alors à une équation du 1er degré avec une seule inconnue, x. On résout cette équation et on reporte la valeur trouvée pour x dans l'autre équation... etc.
La difficulté de la résolution réside dans la manière d'éliminer l'une des inconnues d'une des équations.

2 méthodes sont possibles :

• Méthode par substitution :
  

(4 x (x) + 7 x y = 15 (5x (x) + 10x y = 12
La première équation permet d'écrire : 7 x y = 15-4x (x)
Puis y = 15-4x (x)/7 = 15/7-4/7 x (x)
On remplace ("substitue" d'où le nom de la méthode) alors y par cette expression dans la deuxième équation qui devient
5x (x) + 10 x(15/7 - 4/7 x (x) ) = 12
On obtient 5 x (x) - 40/7 x (x)= 12 - 150/7
D'où (5-40/7) x (x) = 84-150/7 = 66/7
Puis (35/7-40/7) x (x) = -66/7
Finalement x = (-66/7) x (-7/5) = 66/5
On reporte ensuite cette valeur de x dans la première équation qui devient :
y = 15/7 - 4/7 x 66/5 = (15x5-4x66/35)= -189/35= -27/5
Conclusion : x = 66/5 et y = -27/5

• Méthode par combinaisons linéaires

Elle consiste au départ à multiplier par ex. la première équation par 5 (parce que c'est le nombre qui multiplie x dans la 2ème équation) et la deuxième par 4 (même raison).
(5x(4x(x)+7x(y))=5x15
(4x(5x(x)+10x(y))=4x12

soit
(20x(x)+35x(y)=75
(20x(x)+40x(y)=48

On a ainsi le même coefficient multiplicateur devant x dans les 2 équations. On va désormais les soustraire l'une à l'autre : il s'agit de la différence membre à membre des deux équations.
On obtient 20x(x)+35x(y) - (20x(x)+40x(y))= 75-48
soit 20x(x)+35x(y) - 20x(x)-40x(y)=27
d'où -5x(y)=27
Et finalement y= -27/5

Les manipulations ont permis d'éliminer x et de trouver y. On détermine alors la valeur de x en reportant celle de y dans l'une des deux équations.
5x(x) + 10 x (-27/5)= 12
Soit : 5x(x)=54+12=66, donc x=66/5

Inéquations du 1er degré

Définition :
Une inéquation du 1er degré une inégalité qui s'écrit :
(1) ax(x)+b≤cx(x)+d≤
On dit qu'il s'agit d'une inéquation au sens large car elle fait recours au symbole d'inégalité ≤. On pourrait aussi rencontrer des inéquations au sens strict dans lesquelles apparaîtrait le symbole d'inégalité ≺.

L'inéquation peut aussi s'écrire cx(x)+d≥ax(x)+b

Résolutions : Même procédure que pour l'équation du 1er degré.
Ainsi l'inéquation écrite ci-dessus devient par ex : ax(x)+b-cx(x)-b≤cx(x)+d-cx(x)-b
Elle se simplifie en : ax(x)-cx(x)≤d-b, puis en (a-c)x(x)≤d-b. C'est à ce stade que l'on rencontre la différence majeure entre la résolution d'une équation du 1er degré et d'une inéquation du 1er degré. Il s'agit maintenant de diviser les deux membres de l'inéquation par a-c afin d'isoler l'inconnue. Condition : a-c≠0.

Deux possibilités :

• soit a-c≻0, on peut diviser les deux membres de l'inéquation par a-c sans rien changer à celle-ci et on obtient : x ≤ d-b/a-c. On ne change pas les solutions si on multiplie ou on divise les membres par un nombre strictement positif.
• soit a-c≺, on peut aussi diviser les deux membres par a-c, mais il faut alors inverser le sens de l'inégalité et on obtient x≥d-b/a-c. Sinon, on change le sens de cette inégalité.
  

Remarques :

• Dans un cas comme dans l'autre, on n'obtient pas une valeur unique pour x, mais un intervalle.
  
• Si a-c=0, alors l'inéquation devient : 0x(x)≤d-b. Si d-b est un nombre positif ou nul, l'inégalité obtenue est toujours vérifiée et n'importe quel nombre x est solution. En revanche si d-b est strictement négatif, l'inégalité ne peut jamais être vérifiée et dans ce cas, l'inéquation n'a aucune solution.