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| + | On considère alors le procédé qui, au couple (a;b), associe le cardinal de AxB, c'est-à-dire le nombre de couples obtenus en faisant le produit cartésien. On définit de cette manière une loi de composition interne sur N que l'on appelle multiplication sur N. | ||
| + | On dit que l'on fait le produit de a par b et, par convention, on note axb le résultat de l'opération. | ||
Version du 11 septembre 2006 à 09:10
Source : CNED
Sommaire
L'addition dans N
Définitions
- 1ère définition dans N : Considérons 2 ensembles disjoints A, de cardinal fini égal à a, et B de cardinal fini égal à b (ce qui signifie que a et b sont deux nombres entiers naturels, éventuellement égaux à 0, que A possède a éléments et que B possède b éléments).
Si on considère que le procécé, qui au couple (a;b) associe le cardinal de la réunion de A et de B, alors on définit une loi de composition interne sur N que l'on appelle addition sur N. Si on note a+b le résultat de l'opération, on a alors par définition : a+b=Card(A∪B). On dit que l'on a calculé la somme de a et de b.
- 2ème définition dans N : on considère un nombre entier naturel a et son successeur immédiat noté a(1), c'est-à-dire le plus petit nombre entier strictement supérieur à a. On admettra que ce nombre existe toujours (on avance d'une unité sur la droite numérique).
Considérons un autre entier naturel b. Si l'on avance de b unités sur la droite numérique, on atteint un nombre s. On peut alors définir une loi de composition interne sur N en associant au couple (a;b) ce nombre s, obtenu en effectuant b sauts de une unité à partir de a sur la droite numérique. Par définition, on dira que s est la somme de a et de b et on écrira a+b=s.
Propriétés de l'addition dansN
- elle est commutative : ex : 3+2=2+3
- elle est associative : (5+7)+6 = 5+(7+6)
- elle dispose d'un élément neutre : 0
- elle est compatible avec la relation d'ordre. Cela signifie que si a,b et c sont 3 trois entiers naturels tels que a≤b, alors a+c≤b+c. Conséquence admise : si d est un autre entier naturel et si a≤b et c≤d, alors a+c≤b+d
La multiplication dans N
Définitions
- 1ère définition dans N : considérons deux ensembles A, de cardinal fini égal à a et B, de cardinal fini égal à b. On constitue le produit cartésien de A et B, noté AxB.
On considère alors le procédé qui, au couple (a;b), associe le cardinal de AxB, c'est-à-dire le nombre de couples obtenus en faisant le produit cartésien. On définit de cette manière une loi de composition interne sur N que l'on appelle multiplication sur N. On dit que l'on fait le produit de a par b et, par convention, on note axb le résultat de l'opération.
