Calculs (Freesette)

L'addition dans N

Définitions

• 1ère définition dans N : Considérons 2 ensembles disjoints A, de cardinal fini égal à a, et B de cardinal fini égal à b (ce qui signifie que a et b sont deux nombres entiers naturels, éventuellement égaux à 0, que A possède a éléments et que B possède b éléments).

Si on considère que le procécé, qui au couple (a;b) associe le cardinal de la réunion de A et de B, alors on définit une loi de composition interne sur N que l'on appelle addition sur N. Si on note a+b le résultat de l'opération, on a alors par définition : a+b=Card(A∪B). On dit que l'on a calculé la somme de a et de b.

• 2ème définition dans N : on considère un nombre entier naturel a et son successeur immédiat noté a"petit 1", c'est-à-dire le plus petit nombre entier strictement supérieur à a. On admettra que ce nombre existe toujours (on avance d'une unité sur la droite numérique).

Considérons un autre entier naturel b. Si l'on avance de b unités sur la droite numérique, on atteint un nombre s. On peut alors définir une loi de composition interne sur N en associant au couple (a;b) ce nombre s, obtenu en effectuant b sauts de une unité à partir de a sur la droite numérique. Par définition, on dira que s est la somme de a et de b et on écrira a+b=s.

Propriétés de l'addition dansN

• elle est commutative : ex : 3+2=2+3
• elle est associative : (5+7)+6 = 5+(7+6)
• elle dispose d'un élément neutre : 0
• elle est compatible avec la relation d'ordre. Cela signifie que si a,b et c sont 3 trois entiers naturels tels que a≤b, alors a+c≤b+c. Conséquence admise  : si d est un autre entier naturel et si a≤b et c≤d, alors a+c≤b+d

La multiplication dans N

Définitions

• 1ère définition dans N : considérons deux ensembles A, de cardinal fini égal à a et B, de cardinal fini égal à b. On constitue le produit cartésien de A et B, noté AxB.

On considère alors le procédé qui, au couple (a;b), associe le cardinal de AxB, c'est-à-dire le nombre de couples obtenus en faisant le produit cartésien (Cf. Opérations (Freesette)). On définit de cette manière une loi de composition interne sur N que l'on appelle multiplication sur N. On dit que l'on fait le produit de a par b et, par convention, on note axb le résultat de l'opération (ou a.b ou ab).

• 2ème définition dans N : Considérons 2 nombres entiers naturels non nuls a et b. A l'aide de l'addition, on sait ajouter le nombre b à lui-même autant de fois qu'on le souhaite. Si on considère le procédé qui au couple (a;b) associe la somme de b+b+b... dans lequel le terme b est répété a fois, alors on définit une loi de composition interne sur N. Le produit de a par b, que l'on note axb, est la somme b+b+... dans laquelle le terme b apparaît a fois. Si a=5 et b=8, on peut écrire 5x8 = 40 ou 8+8+8+8+8 = 40. La deuxième écriture est la somme "itérée". Dans l'expression "le produit de 8 par 7", les nombres 8 et 7 sont appelés facteurs du produit.

Propriétés

• elle est commutative : 4x3=3x4
• elle est associative : (8x5)x7=8x(5x7)
• elle dispose d'un élément neutre : 1
• elle est distributive sur l'addition et la soustraction : 3x(12+9) = (3X12)+(3X9)
• elle est compatible avec la relation d'ordre. Si a,b,c sont 3 entiers naturels tels que a≤b, alors axc≤bxc. Conséquence admise : si 0≤a≤b≤c≤d, alors 0≤axc≤bxd
• le nombre 0 dispose d'un statut particulier pour la multiplication puisque le produit de tout élément N par 0 est égal à 0.

La soustraction

Définitions

• 1ère définition dans N : Ensemble B inclus dans A cette fois-ci. On nomme C l'ensemble constitué par les éléments de A qui ne sont pas des éléments de B (C est appelé l'ensemble complémentaire de B dans A). On considère le procédé qui, au couple (a;b), associe le cardinal de C et l'appeler soustraction sur N.

Lorsque les nombres a et b sont tels que a≥b, on peut noter a-b le résultat du procédé défini ci-dessus et l'on a donc a-b=Card(C). On dit que l'on a calculé la différence de a et de b. La différence de a et de b est le nombre qu'il faut ajouter à b pour trouver a.

• 2ème définition dans N :

Nous avons a : on passe de a à a "petit 1" sur la droite numérique. Nous avons aussi b, autre entier naturel inférieur ou égal à a. Si l'on recule de b unités sur la droite numérique (ce qui revient à considérer le prédecesseur du prédecesseur du prédecesseur... de a), on atteint un nombre entier d positif ou nul. a-b=d. Tout comme dans la première définition, ce procédé défini ici n'est pas une loi de composition interne sur N puisqu'il ne fonctionne que pour a≥b.

Dans l'expression "la différence de 14 et de 8" par exemple, les nombres 14 et 8 sont appelés termes de la différence.

Propriétés

Tout en se rappelant que la soustraction sur N n'est pas une loi de composition interne :

• elle n'est pas commutative
• elle n'est pas associative
• elle n'a pas d'élément neutre. 0 a un statut particulier. Sans être un élément neutre, on a tout de même pour tout nombre n, n-0=n et n-n=0.
• elle est compatible avec la relation d'ordre, ce qui signifie que si a,b, et c, c étant inférieur ou égal à a et à b, sont 3 entiers naturels tels que a≤b, alors a-c≤b-c.
• elle possède la propriété dite des différences égales : on ne modifie pas une différence en ajoutant le même nombre à ses deux termes.

La division euclidienne

Définitions

• Exemple préalable :diviser 37 par 5 consiste à chercher le nombre entier naturel q tel que 5xq=37. Comme ce nombre n'existe pas, on considère le plus grand nombre entier q tel que 5xq ≤ 37. En utilisant les tables de multiplication, on trouve que 5x7=35 et 5x8=40. La valeur de q est donc 7 puisque 5x7≤37≺5x(7+1). Pour traduire le résultats des calculs, on peut écrire 37=5x7+2

• Définition : Effectuer le division euclidienne de a par b (deux entiers naturels) consiste à chercher le nombre entier naturel q tel que bxq≤a≺bx(q+1). B différent de 0. Effectuer cette division consiste à encadrer a (appelé dividende) par deux multiples consécutifs de b (diviseur). Le nombre q est appelé quotient euclidien de la division de a par b.

On peut alors calculer le nombre r = a-bxq. Ce nombre est appelé reste de la division euclidienne de a par b. Ce nombre est supérieur ou égal à 0 et strictement inférieur à b.

Donc : a=bxq+r et 0≤r≺b

Remarques :

• la division euclidienne est aussi appelée division à quotient entier
• si le reste est égal à 0, on a a=bxq et on dit que la division est à quotient exact.
• le diviseur ne peut jamais être égal à 0. Si b = 0, il n'est plus possible d'encadrer a par deux multiples consécutifs de b et l'on ne peut donc plus trouver de valeur pour q.
• elle n'est pas un loi de composition interne car elle associe à un couple d'entiers non pas un entier, mais un autre couple d'entiers (q;r).

Quelques notions sur les opérations dans les ensembles Z,D,Q,R

Addition

Elle est une loi de composition interne sur N, mais aussi sur les ensembles Z,D,Q,R. Elle conserve aussi plusieurs propriétés sur chacun de ces ensembles.

• elle reste commutative, associative et dispose d'un élément neutre : 0
• elle reste compatible avec la relation d'ordre
• en revanche, sur les ensembles Z,D,Q,R, chaque élément dispose d'un symétrique (appelé opposé)

Multiplication

Elle est une loi de composition interne sur N, mais aussi sur les ensembles Z,D,Q,R. Par ailleurs :

• elle est commutative, associative et dispose d'un nombre neutre : 1
• elle est distributive sur l'addition et la soustraction
• en revanche, elle n'est compatible avec la relation d'ordre que sur les ensembles Z+,D+,Q+,R+.
• le nombre 0 a toujours un statut particulier
• Dans Z, seul 1 dispose d'une symétrie (c'est lui-même). En revanche dans Q et R, tous les éléments non nuls ont un symétrique, appelé inverse. L'inverse d'un élément a, non nul, appartenant à Q ou à R, se note a(-1) ou 1/a. Dans D, certains éléments non nuls (mais pas tous) disposent aussi d'une symétrique appelée inverse. Par ex. 0,4 et de 2,5 est égal à 1.

Soustraction

Elle n'est pas une loi de composition interne sur N, mais elle l'est sur les ensembles Z,D,Q,R. Cela est dû à l'existence de nombres négatifs dans ces ensembles (à approfondir).

• elle n'est pas commutative, ni associative
• elle est compatible avec la relation d'ordre, mais on ne peut pas soustraire membre à membre deux inégalités de même sens
• elle possède la propriété dite des différences égales

Division

Dans les ensembles Q et R (à voir plus tard pour les autres) :

• Diviser a par b, c'est chercher par quel nombre il faut multiplier b pour obtenir a. Autrement dit, diviser a par b, c'est chercher le nombre q tel que bxq=a. On sait que dans Q & R, le nombre b possède un inverse pour la multiplication noté b(-1) ou 1/b. Le nombre q cherché est égal au nombre axb(-1).
• la division dispose de peu de propriétés dans ces 2 ensembles. Elle n'est ni commutative, ni associative et n'a pas d'élément neutre. Mais elle compatible avec la relation d'ordre si l'on se limite aux nombres rationnels ou réels strictement positifs.

Règles de calcul

Règles de priorité entre les opérations

En l'absence de parenthèses, des conventions déterminent dans quel ordre chronologique les calculs doivent être effectués.

• si le calcul ne comporte que des additions ou des soustractions, on effectue le calcul de gauche à droite.
• si le calcul ne comporte que des multiplications ou des divisions, on effectue le calcul de gauche à droite.
• si le calcul comporte des multiplications ou des divisions mélangées à des additions ou des soustractions, on commence par les multiplications et les divisions puis on effectue les additions ou les soustractions. Les deux premières opérations sont donc prioritaires par rapport aux deux autres.

Rôle des parenthèses dans les calculs

Les parenthèses sont utilisées pour modifier l'ordre conventionnel des calculs. Dans un calcul en ligne, on commence par effectuer ceux entre parenthèses puis on applique les priorités usuelles au restant. Les parenthèses intérieures à d'autres sont prioritaires.

Règles des signes dans les multiplications

• le produit de deux nombres positifs est positif
• le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif
• le produit de deux nombres négatifs est positif

Règles des signes dans les divisions

• le quotient d'un nombre positif par un nombre strictement positif (diviseur non nul) est positif
• le quotient d'un nombre négatif par un nombre strictement négatif ou bien l'inverse est négatif
• le quotient d'un nombre négatif par un nombre strictement négatif est positif

Puissances d'un nombre

Pour alléger l'écriture d'un nombre qui se multiplie par lui-même : exposant. 2x2x2=2(3). Cette écriture se lit 3 exposant de 2. On dit aussi que 8 (le produit) est la puissance 3 de 2. On dit encore que l'on a élevé 2 à la puissance 3. On convient que pour a non nul, on a a(0)=1 et que pour n≻0, on a : a(-n)=1/a(n)

• Ex. calculs avec des puissances : Media:tableau calculs avec puissances.pdf

Calculs avec des fractions ou des quotients

Cf Media:Tabelau calculs avec des fractions ou des quotients.pdf

Calculs avec les radicaux

Rappel : si a est un nombre réel positif, l'écriture √a désigne le nombre réel positif qui est la solution de l'équation : x²= (x)x(x) = a. Donc (√a)² = a. On appelle radical le signe √.

Différentes règles de calcul existent pour a et b (nbres réels positifs) :

• √axb = √a x √b
• si n désigne un entier naturel √a(n)=(√a)n
• si b≠0, alors √a/b=√b/a
• si a≠0, alors 1/√a=√a/a
• en revanche, en général, √a+b ≠ √a + √b