Calculs (Freesette)

Source : CNED

L'addition dans N

Définitions

• 1ère définition dans N : Considérons 2 ensembles disjoints A, de cardinal fini égal à a, et B de cardinal fini égal à b (ce qui signifie que a et b sont deux nombres entiers naturels, éventuellement égaux à 0, que A possède a éléments et que B possède b éléments).

Si on considère que le procécé, qui au couple (a;b) associe le cardinal de la réunion de A et de B, alors on définit une loi de composition interne sur N que l'on appelle addition sur N. Si on note a+b le résultat de l'opération, on a alors par définition : a+b=Card(A∪B). On dit que l'on a calculé la somme de a et de b.

• 2ème définition dans N : on considère un nombre entier naturel a et son successeur immédiat noté a(1), c'est-à-dire le plus petit nombre entier strictement supérieur à a. On admettra que ce nombre existe toujours (on avance d'une unité sur la droite numérique).

Considérons un autre entier naturel b. Si l'on avance de b unités sur la droite numérique, on atteint un nombre s. On peut alors définir une loi de composition interne sur N en associant au couple (a;b) ce nombre s, obtenu en effectuant b sauts de une unité à partir de a sur la droite numérique. Par définition, on dira que s est la somme de a et de b et on écrira a+b=s.

Propriétés de l'addition dansN

• elle est commutative : ex : 3+2=2+3
• elle est associative : (5+7)+6 = 5+(7+6)
• elle dispose d'un élément neutre : 0
• elle est compatible avec la relation d'ordre. Cela signifie que si a,b et c sont 3 trois entiers naturels tels que a≤b, alors a+c≤b+c. Conséquence admise  : si d est un autre entier naturel et si a≤b et c≤d, alors a+c≤b+d