Enseigner la Numération (Freesette)

NOMBRES ENTIERS

Objectifs prioritaires apprentissages

• Cycle I : apprentissage des nombres
• Cycles II et III : appropriation des principes de notre système de désignation chiffrée des nombres (numération décimale) et de leur expression orale ou littérale (écrite avec des mots)

==> au centre le nombre : ses propriétés, le langage oral et symbolique, les problèmes qu'il permet de résoudre, les procédures / techniques / résultats.

Cycle I : usages des nombres (à quoi ça sert ?)

• garder la mémoire d'une quantité (aspect cardinal)
• garder la mémoire d'une position (aspect ordinal)
• anticiper le résultat d'une augmentation, diminution, d'un partage, retrouver une quantité avant qu'elle ne soit transformée... (aspect cardinal)
• anticiper le résultat d'un déplacement (en avant ou en arrière) dans une liste d'objets rangés ou retrouver la position d'un objet avant qu'il ne bouge... (aspect ordinal)

Principaux problèmes

• problèmes de mémorisation : liés à des collections équipotentes, à la comparaison de collections, au repérage ordinal (dans une collection).

• problèmes d'anticipation (« chercher avec sa tête et pas seulement avec ses mains ou yeux » et sans connaissance des procédures de calcul avant le CP) : sur les quantités, sur le repérage ordinal.

Variables didactiques

• problèmes de mémorisation (collections équipotentes) : place des collections (éloignées ou proches), caractéristiques des objets (mobilité, disposition), nombre d'objets, conditions de réalisation de la tâche (essais possibles...)

• problèmes de mémorisation (repérage ordinal) : place des collections, nature des objets (tous identiques ou non), conditions de réalisation de la tâche, possibilité ou non de désigner l'objet.

• problèmes d'anticipation : taille des nombres, leurs tailles relatives, disponibilité des objets en totalité, partiellement ou pas du tout.

Procédures (suivant les variables didactiques)

• problèmes de mémorisation (collections équipotentes) : 1/ collections proches, objets déplaçables, quantité d'objets > 5 : correspondance terme à terme ou paquet par paquet  ; 2/ collections proches, objets non déplaçables, quantité d'objets > 5, par ex. objets dessinés sur une feuille : établir des liens entre objets ou paquets (traits) ; 3/ collections éloignées, objets qui ne peuvent pas être rapprochées, quantité < 5, un seul essai : subitizing = quantité directement perceptible sans avoir recours aux nombres. On peut aussi utiliser les doigts ; 4/ collections éloignées, objets qui ne peuvent pas être rapprochées, quantités importantes, un seul essai : dénombrer.

• problèmes de mémorisation (repérage ordinal) : 1/ objets identiques, possibilité de marquer : on met un signe distinctif sur chaque objet et on indique celui qui correspond à l'objet recherché ; 2/ objets identiques, impossibilité de les marquer : numéroter fictivement les objets en récitant la suite des nombres à partir d'un coté donné pour arriver à l'objet recherché.

• problèmes d'anticipation : le recomptage en utilisant ses doigts ou en dessinant sur une feuille les objets cachés à sa vue, le surcomptage (ou comptage en avant) en partant du plus grand nombre d'objets qu'il a en tête et en comptant sur ses doigts le reste à ajouter, le décomptage (ou comptage en arrière) quand on enlève un certain nombre d'objets à une collection et l'enfant compte ce qui reste à « l'envers », le double comptage qui consiste à faire avancer deux suites numériques décalées en même temps (passer de la case 5 à 9 en comptant à la fois 6,7,8,9 et 1,2,3,4) en comptant sur les doigts le nombre de mots prononcés.

Cycles II et III : désignation des nombres entiers naturels

• système écrit qui utilise des chiffres (numération chiffrée)
• système qui utilise des mots (numération orale)

Numération chiffrée

Les élèves doivent connaître la régularité des groupements par 10 / les égalités telles que 1 dizaine = 10 unités ; 1 centaine = 10 dizaines, 1 centaine = 100 unités... etc. / savoir que chaque type d'unité correspond à une position dans l'écriture du nombre / connaître le rôle de 0 / les décompositions associées (par addition / multiplication).

Principaux problèmes

• compréhension écriture chiffrée : organisation d'une collection (problème de codage) et problème de décodage

• comparaison des nombres à partir de leur écriture chiffrée. Erreurs fréquentes : mauvaises applications des procédures expertes, addition des chiffres composant un nombre pour le comparer à un autre, non maîtrise des symboles de comparaison (>,<...). Il est important de repérer les erreurs de comparaison des nombres et les erreurs de "codage" du résultat de la comparaison.

• la suite des écritures chiffrées : produire la suite de nombre de un en un. Le passage à une nouvelle dizaine ou centaine pose souvent problème aux élèves. Il est important pour le maître de ne pas confondre la compréhension et la maîtrise de l'algorithme (= procédures - Cf. : [1]) avec celles des fondements sémantiques de notre système de numération (rôle des groupements et échanges).

Procédures

• compréhension écriture chiffrée (organisation d'une collection) : procédure fondamentale qui consiste à procéder 1/par groupements successifs réguliers par 10 (d,c,m et unités restantes) ; 2/ par des groupements par dix et d'échanges de 10 objets d'un certain type par un objet d'un autre type (ex: 10 dizaines en forme de carré = 1 centaine en forme de triangle).

• compréhension écriture chiffrée (décodage) : 1/ par un décodage chiffre par chiffre (2 milliers et 5 centaines = 25 centaines), 2/ ou par lecture directe (25 centaines)

• comparaison des nombres à partir de leur écriture chiffrée : 1/ procédure personnelle : si les nombres n'ont pas le même nombre de chiffres, le plus grand est celui qui a le plus de chiffres ; si les deux nombres ont le même nombres de chiffres, on regarde le chiffre du rang le plus à gauche ; 2/ procédure experte : représenter les nombres par des quantités (groupements de 100, 10...) ; utiliser un raisonnement du type il y a deux centaines dans chaque nombre, mais 3 dizaines dans l'un et 2 dans l'autre. La solution en découle.

• la suite des écritures chiffrées : tous les outils permettant l'affichage de cette suite (empruntés à la vie quotidienne ou fabriqué) doivent être examinés et proposés à l'observation des enfants (mètres, calendrier, tableaux de nombres...). La prise de conscience ne se fait pas de la même manière selon les enfants.

Numération orale

Principaux problèmes

• Réciter la suite orale des nombres : la suite orale est première dans la vie des enfants. Mais ses nombreuses irrégularités n'en facilitent pas la mémorisation.
• Passer de la désignation écrite à la désignation orale et inversement (apprentissage correspondance oral-chiffré)
• Comparer des nombres exprimés oralement

Procédures

• Réciter la suite orale des nombres : 1/ dans la suite de 11 à 20 : difficultés au niveau de 11 à 16 ("illogiques"). Une mémorisation complète est nécessaire sans forcément "comprendre" dans un premier temps ; 2/ dans la suite de 20 à 60 : partie la plus facile à mémoriser car il existe une sorte de sur-comptine (20,30,40...) qui détermine toutes les autres dénominations selon une construction régulière (23,33,43...) ; 3/ de 60 à 99 : les difficultés deviennent plus importantes. Les régularités perçues auparavant ne fonctionnent plus. Certaines progressions préconisent un apprentissage jusqu'à 69 repoussant à plus tard la zone difficile. Mais il vaudrait mieux travailler au même moment la série des 60 et 70 puis 80 et 90 pour insister sur les irrégularités, les différences et les ressemblances.

• L'apprentissage de la correspondance oral-chiffré : 1/ pour la zone régulière des nombres inférieurs à 100 (20 à 59), la lecture est simple ; 2/ pour la zone irrégulière (60 à 99), on travaille en deux temps : la zone de 60 à 79 et celle de 80 à 99 ; 3/ au-delà de 100, le système de lecture des nombres devient systématique. Le travail de décomposition des nombres en utilisant les puissances de 10 peut être utile ; 4/ concernant les grands nombres, au-delà de 10 000 et 100 000 étudiés en cycle 3. Les écritures chiffrées sont organisées en tranches de 3 chiffres séparées par un court espace.

• Comparer des nombres exprimés oralement : ces comparaisons se font principalement par appui sur certains mots entrant dans la composition des nombres étudiés. Il est important que les élèves prennent conscience qu'à l'oral le nombre de mots utilisés ne joue pas le rôle joué par le nombre de chiffres dans les écritures chiffrées. La longueur de l'écriture ne donne aucune indication sur la taille d'un nombre.

Résumé Nombres entiers

FRACTIONS ET NOMBRES DECIMAUX

Domaines concernés en primaire

VOCABULAIRE A CONNAITRE

• Chaîne numérique verbale ou comptine numérique / orale
• bijection
• équipotence : 2 collections d'objets sont équipotentes si une correspondance un à un peut être établie entre les 2 collections, donc si elles comportent autant d'objets l'une que l'autre.
• valeur absolue
• aspects ordinal (positions) et cardinal (quantités)