Enseigner la Numération (Freesette)

NOMBRES ENTIERS

Objectifs prioritaires apprentissages

• Cycle I : apprentissage des nombres
• Cycles II et III : appropriation des principes de notre système de désignation chiffrée des nombres (numération décimale) et de leur expression orale ou littérale (écrite avec des mots)

==> au centre le nombre : ses propriétés, le langage oral et symbolique, les problèmes qu'il permet de résoudre, les procédures / techniques / résultats.

Cycle I : usages des nombres (à quoi ça sert ?)

• garder la mémoire d'une quantité (aspect cardinal)
• garder la mémoire d'une position (aspect ordinal)
• anticiper le résultat d'une augmentation, diminution, d'un partage, retrouver une quantité avant qu'elle ne soit transformée... (aspect cardinal)
• anticiper le résultat d'un déplacement (en avant ou en arrière) dans une liste d'objets rangés ou retrouver la position d'un objet avant qu'il ne bouge... (aspect ordinal)

Principaux problèmes

• problèmes de mémorisation : liés à des collections équipotentes, à la comparaison de collections, au repérage ordinal (dans une collection).

• problèmes d'anticipation (« chercher avec sa tête et pas seulement avec ses mains ou yeux » et sans connaissance des procédures de calcul avant le CP) : sur les quantités, sur le repérage ordinal.

Variables didactiques

• problèmes de mémorisation (collections équipotentes) : place des collections (éloignées ou proches), caractéristiques des objets (mobilité, disposition), nombre d'objets, conditions de réalisation de la tâche (essais possibles...)

• problèmes de mémorisation (repérage ordinal) : place des collections, nature des objets (tous identiques ou non), conditions de réalisation de la tâche, possibilité ou non de désigner l'objet.

• problèmes d'anticipation : taille des nombres, leurs tailles relatives, disponibilité des objets en totalité, partiellement ou pas du tout.

Procédures (suivant les variables didactiques)

• problèmes de mémorisation (collections équipotentes) : 1/ collections proches, objets déplaçables, quantité d'objets > 5 : correspondance terme à terme ou paquet par paquet  ; 2/ collections proches, objets non déplaçables, quantité d'objets > 5, par ex. objets dessinés sur une feuille : établir des liens entre objets ou paquets (traits) ; 3/ collections éloignées, objets qui ne peuvent pas être rapprochées, quantité < 5, un seul essai : subitizing = quantité directement perceptible sans avoir recours aux nombres. On peut aussi utiliser les doigts ; 4/ collections éloignées, objets qui ne peuvent pas être rapprochées, quantités importantes, un seul essai : dénombrer.

• problèmes de mémorisation (repérage ordinal) : 1/ objets identiques, possibilité de marquer : on met un signe distinctif sur chaque objet et on indique celui qui correspond à l'objet recherché ; 2/ objets identiques, impossibilité de les marquer : numéroter fictivement les objets en récitant la suite des nombres à partir d'un coté donné pour arriver à l'objet recherché.

• problèmes d'anticipation : le recomptage en utilisant ses doigts ou en dessinant sur une feuille les objets cachés à sa vue, le surcomptage (ou comptage en avant) en partant du plus grand nombre d'objets qu'il a en tête et en comptant sur ses doigts le reste à ajouter, le décomptage (ou comptage en arrière) quand on enlève un certain nombre d'objets à une collection et l'enfant compte ce qui reste à « l'envers », le double comptage qui consiste à faire avancer deux suites numériques décalées en même temps (passer de la case 5 à 9 en comptant à la fois 6,7,8,9 et 1,2,3,4) en comptant sur les doigts le nombre de mots prononcés.

Cycles II et III : désignation des nombres entiers naturels

• système écrit qui utilise des chiffres (numération chiffrée)
• système qui utilise des mots (numération orale)

Numération chiffrée

Les élèves doivent connaître la régularité des groupements par 10 / les égalités telles que 1 dizaine = 10 unités ; 1 centaine = 10 dizaines, 1 centaine = 100 unités... etc. / savoir que chaque type d'unité correspond à une position dans l'écriture du nombre / connaître le rôle de 0 / les décompositions associées (par addition / multiplication).

Principaux problèmes

• compréhension écriture chiffrée : organisation d'une collection (problème de codage) et problème de décodage

• comparaison des nombres à partir de leur écriture chiffrée. Erreurs fréquentes : mauvaises applications des procédures expertes, addition des chiffres composant un nombre pour le comparer à un autre, non maîtrise des symboles de comparaison (>,<...). Il est important de repérer les erreurs de comparaison des nombres et les erreurs de "codage" du résultat de la comparaison.

• la suite des écritures chiffrées : produire la suite de nombre de un en un. Le passage à une nouvelle dizaine ou centaine pose souvent problème aux élèves. Il est important pour le maître de ne pas confondre la compréhension et la maîtrise de l'algorithme (= procédures - Cf. : [1]) avec celles des fondements sémantiques de notre système de numération (rôle des groupements et échanges).

Procédures

• compréhension écriture chiffrée (organisation d'une collection) : procédure fondamentale qui consiste à procéder 1/par groupements successifs réguliers par 10 (d,c,m et unités restantes) ; 2/ par des groupements par dix et d'échanges de 10 objets d'un certain type par un objet d'un autre type (ex: 10 dizaines en forme de carré = 1 centaine en forme de triangle).

• compréhension écriture chiffrée (décodage) : 1/ par un décodage chiffre par chiffre (2 milliers et 5 centaines = 25 centaines), 2/ ou par lecture directe (25 centaines)

• comparaison des nombres à partir de leur écriture chiffrée : 1/ procédure personnelle : si les nombres n'ont pas le même nombre de chiffres, le plus grand est celui qui a le plus de chiffres ; si les deux nombres ont le même nombres de chiffres, on regarde le chiffre du rang le plus à gauche ; 2/ procédure experte : représenter les nombres par des quantités (groupements de 100, 10...) ; utiliser un raisonnement du type il y a deux centaines dans chaque nombre, mais 3 dizaines dans l'un et 2 dans l'autre. La solution en découle.

• la suite des écritures chiffrées : tous les outils permettant l'affichage de cette suite (empruntés à la vie quotidienne ou fabriqué) doivent être examinés et proposés à l'observation des enfants (mètres, calendrier, tableaux de nombres...). La prise de conscience ne se fait pas de la même manière selon les enfants.

Numération orale

Principaux problèmes

• Réciter la suite orale des nombres : la suite orale est première dans la vie des enfants. Mais ses nombreuses irrégularités n'en facilitent pas la mémorisation.
• Passer de la désignation écrite à la désignation orale et inversement (apprentissage correspondance oral-chiffré)
• Comparer des nombres exprimés oralement

Procédures

• Réciter la suite orale des nombres : 1/ dans la suite de 11 à 20 : difficultés au niveau de 11 à 16 ("illogiques"). Une mémorisation complète est nécessaire sans forcément "comprendre" dans un premier temps ; 2/ dans la suite de 20 à 60 : partie la plus facile à mémoriser car il existe une sorte de sur-comptine (20,30,40...) qui détermine toutes les autres dénominations selon une construction régulière (23,33,43...) ; 3/ de 60 à 99 : les difficultés deviennent plus importantes. Les régularités perçues auparavant ne fonctionnent plus. Certaines progressions préconisent un apprentissage jusqu'à 69 repoussant à plus tard la zone difficile. Mais il vaudrait mieux travailler au même moment la série des 60 et 70 puis 80 et 90 pour insister sur les irrégularités, les différences et les ressemblances.

• L'apprentissage de la correspondance oral-chiffré : 1/ pour la zone régulière des nombres inférieurs à 100 (20 à 59), la lecture est simple ; 2/ pour la zone irrégulière (60 à 99), on travaille en deux temps : la zone de 60 à 79 et celle de 80 à 99 ; 3/ au-delà de 100, le système de lecture des nombres devient systématique. Le travail de décomposition des nombres en utilisant les puissances de 10 peut être utile ; 4/ concernant les grands nombres, au-delà de 10 000 et 100 000 étudiés en cycle 3. Les écritures chiffrées sont organisées en tranches de 3 chiffres séparées par un court espace.

• Comparer des nombres exprimés oralement : ces comparaisons se font principalement par appui sur certains mots entrant dans la composition des nombres étudiés. Il est important que les élèves prennent conscience qu'à l'oral le nombre de mots utilisés ne joue pas le rôle joué par le nombre de chiffres dans les écritures chiffrées. La longueur de l'écriture ne donne aucune indication sur la taille d'un nombre.

Résumé Nombres entiers

FRACTIONS ET NOMBRES DECIMAUX

Problèmes traités en primaire

Expression d'une mesure - Repérage points sur une droite

• En primaire, les fractions et les écritures additives d'entiers et de fractions sont introduites comme des outils pour communiquer des mesures (longueurs, aires...) à partir d'une unité. Après un long travail sur les écritures fractionnaires, les fractions décimales et les sommes de fractions décimales sont introduites avec la même signification. Les écritures à virgule sont présentées comme un autre moyen d'écrire une somme de fractions décimales : 3 + 1/10 + 5/100 = 3,5.

• Les décimaux et les fractions sont aussi utilisés pour répérer des points situés sur une droite graduée.

Le système métrique

* Mesures de longueurs ou de masses : on utilise le fait que le système métrique usuel est fondé sur des relations décimales entre les unités. 1dm=1/10m - 1dam=10m... Cette équivalence peut être utilisée pour résoudre des problèmes tels que "trouvez le prix de..." en donnant le poids et le prix au kg. Les élèves peuvent utiliser un raisonnement relatif à la proportionnalité (2,750 k à 85 € le kg = 2kg + 500 gr + 250 gr = 170 + 42,50 + 21,25 euros). Dans le cas du produit d'un décimal par un entier, on peut aussi évoquer un calcul par itération (3kg à 85,72 euros le kg = 85,72 + 85,72 + 85,72). Impossible pour un produit à deux décimaux : dans ce cas, les élèves peuvent utiliser leurs connaissances sur les écritures décimales pour mettre en place des procédures s'appuyant sur la linéarité.

• Dans la mesure des aires : l'utilisation des différentes unités du système métrique est complexe. Les relations entre ces unités sont du type : 1dm² = 1/100m² ; 1mm² = 1/100 cm². Relations abordées au cycle 3, mais approfondies au collège.

• Dans le cas de la mesure des durées : la situation est encore plus délicate car les relations entre unités ne sont plus liées à des puissances de 10.

Fractions, nombres décimaux et quotients d'entiers

• En primaire, la fraction 4/3 est liée au fait qu'on a reporté 4 fois le tiers de l'unité. Pour les élèves, c'est 4 fois 1/3 reporté. En 6ème, 4/3 est pensé comme le quotient de 4 par 3 et donc comme le tiers de 4.

• Des problèmes tels que la recherche de la longueur obtenue en partageant un fil permettent aux élèves de comprendre que les nombres décimaux fournissent des résultats aussi précis que l'on veut pour la valeur du quotient.

Point spécifique sur le langage utilisé

Les fractions

Au cycle 3, la distinction n'est pas faite entre fraction et nombre rationnel. Les élèves doivent essentiellement apprendre :

• une première signification de l'écriture fractionnaire
• la lecture des fractions
• le fait qu'une fraction peut être décomposée en partie entière et partie fractionnaire inférieure à 1

Les nombres décimaux

Au cycle 3, les élèves rencontrent 4 types d'expressions des nombres décimaux :

• l'écriture décimale avec une virgule : il s'agit surtout de permettre aux élèves de comprendre que la valeur d'un chiffre dépend de la position qu'il occupe dans l'écriture et de maîtriser les relations qui existent entre des chiffres situés à des rangs différents, en particulier les relations avec l'unité

• les décompositions associées à cette écriture (405,26=405+0,26 ou 4x100+5+2x0,1+6x0,01).

• les écritures utilisant des fractions décimales (405,26 = 405 + 26/100 = 405 + 2/10 + 6/100 = 4x100+5+2/10+6/100=40526/100)

• les désignations orales (bien exprimer les dixièmes, centièmes...)

Exemple de savoir-faire : comparaison des fractions et nbres décimaux

Plusieurs techniques sont enseignées aux élèves (seulement quelques ex. ici) :

• la comparaison des nombres décimaux occupe une place importante au cycle 3. Deux procédures peuvent être enseignées. Toutes deux proposent d'abord de comparer les parties entières. Dans le cas où elles sont différentes, la conclusion est immédiate. Dans le cas où elles sont égales, deux démarches possibles : 1/ mettre les parties décimales au même format ; 2/ examiner successivement chaque chiffre situé à droite de la virgule. Le second algorithme est préférable au premier car il ne ramène pas la comparaison de décimaux à la comparaison d'entiers.

• la comparaison des fractions n'est envisagée au cycle 3 que dans des cas simples : fractions de même dénominateur, fractions pouvant être située sur une droite graduée.

Principales difficultés des élèves

Ecritures fractionnaires et décimales

Les évaluations (2001 & 2002 - entrée en 6ème) récentes ont permis de constater que :

• l'écriture fractionnaire n'est pas comprise par certains élèves
• la signification des chiffres d'une écriture à virgule en fonction du rang qu'ils occupent n'est pas assurée
• une confusion entre des mots comme dixième et dizaine
• une "symétrie" de ces termes par rapport à la virgule : dizaine c'est 2 chiffres avant la virgule, dixième, c'est 2 chiffres après la virgule
• le fait que les mots dizaine, dixième... désignent des rangs, des positions plus que des valeurs

Comparaison des nombres décimaux

Les évaluations récentes (2000 - entrée en 6ème) ont permis de constater que :

• beaucoup d'élèves comparent les parties décimales comme s'il s'agissait d'entiers
• d'autres difficultés concernent l'intercalation d'un nombre décimal entre deux nombres décimaux

Synthèse

Pour nombre d'élèves, un nombre décimal est pensé à partir des écritures à virgule, comme deux naturels autonomes séparés par une virgule, voire comme un seul naturel muni d'une virgule.

Résumé fractions et décimaux :

VOCABULAIRE A CONNAITRE

• Chaîne numérique verbale ou comptine numérique / orale
• bijection
• équipotence : 2 collections d'objets sont équipotentes si une correspondance un à un peut être établie entre les 2 collections, donc si elles comportent autant d'objets l'une que l'autre.
• valeur absolue
• aspects ordinal (positions) et cardinal (quantités)