Géométrie - Le triangle (Freesette) : Différence entre versions
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| + | * le triangle ABC est isocèle de sommet principal A si et seulement si les angles B (chapeau) et C (chapeau) sont égaux. | ||
| + | * si le triangle est isocèle de sommet principal A alors les 4 droites : hauteur issue de A, médiane issue de A, bissectrice issue de A et médiatrice base [BC] sont confondues. | ||
| + | * Inversement, si dans un triangle ABC, deux des quatre droites citées ci-dessus sont confondus alors il est isocèle de sommet principal A. | ||
===Triangle équilatéral=== | ===Triangle équilatéral=== | ||
Version du 15 septembre 2006 à 14:42
Sommaire
- 1 Construction à la règle non graduée et au compas d'un triangle dont on connaît les longueurs des trois côtés
- 2 Médianes et centre de gravité
- 3 Hauteurs et orthocentre
- 4 Médiatrices et centre du cercle circonscrit
- 5 Bissectrices et centre du cercle inscrit
- 6 La somme des angles d'un triangle est égale à 180°
- 7 Triangles particuliers
Construction à la règle non graduée et au compas d'un triangle dont on connaît les longueurs des trois côtés
Si chacune des longueurs est inférieure à la somme des deux autres, il est possible de construire le triangle ; si l'une des longueurs est supérieure ou égale à la somme des deux autres, c'est impossible.
La construction est classique : on trace une droite, on met deux points à partir desquels on trace deux cercles. L'une des jonctions des deux cercles détermine le sommet du triangle et la droite son "socle".
Médianes et centre de gravité
Définition
La médiane issue de A dans le triangle ABC est la droite qui joint le somment A au milieu A' du côté opposé [BC]. Ce nom désigne à la fois la droite (AA'), le segment [AA'] et parfois aussi la longueur AA'.
Propriétés (admises)
- les 3 médianes d'un triangle quelconque ABC sont concourantes. Leur point d'intersection G est le centre de gravité du triangle ABC.
- Le centre de gravité G du triangle ABC est situé aux 2/3 de chaque médiane à partir du sommet, c'est-à-dire que AG=2/3 AA', BG=2/3 BB', CG=2/3CC'.
Hauteurs et orthocentre
Les 3 hauteurs d'un triangle quelconque ABC sont concourantes. Leur point d'intersection H est l'orthocentre du triangle ABC. Les deux figurent correspondent au cas où le triangle n'a que des angles aigus et à celui où le triangle possède un angle obtus, cas où le centre du cercle circonscrit au triangle est extérieur à ce triangle.
Médiatrices et centre du cercle circonscrit
Les trois médiatrices d'un triangle quelconque ABC sont concourantes. Leur point d'intersection O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, c'est-à-dire l'unique cercle passant par les trois points A,B,C.
Bissectrices et centre du cercle inscrit
Les trois bissectrices d'un triangle quelconque ABC sont concourantes. Leur point d'intersection Ω est le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC, c'est-à-dire intérieur au triangle ABC et tangent aux trois côtés. Le point Ω est à l'intérieur du triangle ABC.
La somme des angles d'un triangle est égale à 180°
Si on partage un triangle en 3 parties, qu'on découpe et colorie les parties, puisqu'on réorganise en mettant au même point les trois sommets, on obtient un angle plat.
Triangles particuliers
Triangle isocèle
Définition : un triangle est isocèle s'il a deux côtés de même longueur.
Propriétés admises :
- le triangle ABC est isocèle de sommet principal A si et seulement si les angles B (chapeau) et C (chapeau) sont égaux.
- si le triangle est isocèle de sommet principal A alors les 4 droites : hauteur issue de A, médiane issue de A, bissectrice issue de A et médiatrice base [BC] sont confondues.
- Inversement, si dans un triangle ABC, deux des quatre droites citées ci-dessus sont confondus alors il est isocèle de sommet principal A.
