Géométrie - Le triangle (Freesette)

Construction à la règle non graduée et au compas d'un triangle dont on connaît les longueurs des trois côtés

Si chacune des longueurs est inférieure à la somme des deux autres, il est possible de construire le triangle ; si l'une des longueurs est supérieure ou égale à la somme des deux autres, c'est impossible.
La construction est classique : on trace une droite, on met deux points à partir desquels on trace deux cercles. L'une des jonctions des deux cercles détermine le sommet du triangle et la droite son "socle".

Médianes et centre de gravité

Définition

La médiane issue de A dans le triangle ABC est la droite qui joint le somment A au milieu A' du côté opposé [BC]. Ce nom désigne à la fois la droite (AA'), le segment [AA'] et parfois aussi la longueur AA'.

Propriétés (admises)

• les 3 médianes d'un triangle quelconque ABC sont concourantes. Leur point d'intersection G est le centre de gravité du triangle ABC.
• Le centre de gravité G du triangle ABC est situé aux 2/3 de chaque médiane à partir du sommet, c'est-à-dire que AG=2/3 AA', BG=2/3 BB', CG=2/3CC'.

Hauteurs et orthocentre

Les 3 hauteurs d'un triangle quelconque ABC sont concourantes. Leur point d'intersection H est l'orthocentre du triangle ABC. Les deux figurent correspondent au cas où le triangle n'a que des angles aigus et à celui où le triangle possède un angle obtus, cas où le centre du cercle circonscrit au triangle est extérieur à ce triangle.

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Médiatrices et centre du cercle circonscrit

Les trois médiatrices d'un triangle quelconque ABC sont concourantes. Leur point d'intersection O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, c'est-à-dire l'unique cercle passant par les trois points A,B,C.

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