Résolution de problèmes par l'algèbre (Freesette) : Différence entre versions

Version du 11 septembre 2006 à 19:14

Source : CNED

Mise en équations de problèmes mathématiques

Méthodes

• Méthode de fausse position (p.67) : on démarre avec une hypothèse qui a toutes les chances d'être fausse.
• Méthode experte (p.68) : la mise en équation.

Synthèse

La résolution experte d'un problème de mathématique passe par les étapes suivantes :

• identification de l'inconnue ou des inconnues du problème (ce que l'on cherche) et choix d'une désignation pour cette ou ces inconnue(s) (une lettre en général).
• Formulation des conditions imposées aux inconnues.
• Mise en équation(s) du problème, en relation avec une lecture approfondie de l'énoncé.
• Résolution technique de l'équation ou des équations obtenues.
• Contrôle du résultat ou des résultats obtenus par report dans l'équation.
• Contrôle par rapport au bon sens (ordre de grandeur...etc.).
• Rédaction de la réponse à la question en n'oubliant pas de faire figurer l'unité.

Résolution d'équations et d'inéquations

Equations du 1er degré

• C'est une égalité qui s'écrit : (1)a x (x) + b = c x (x) + d où les lettres a,b,c,d désignent un nombre et x l'inconnue. On dit que l'équation a deux membres (chacune des expressions qui figurent d'un côté du signe=). Les expressions ax(x), cx(x), b et d sont appelés termes de l'équation.

• Quand on doit résoudre une équation du 1er degré, il est précisé à quel ensemble doit appartenir l'inconnue. On le déduit à l'énoncé (voir le sens du problème).

• Dans les expressions telles que 1, on ne fait généralement pas apparaître le signe x, ce qui permet d'alléger l'écriture. L'équation (1) s'écrit donc : ax+b=cx+d. Si les lettres a,b,c,d prennent la valeur 0, cela modifie la forme de l'équation car certains termes disparaissent.

• Résolution : la résolution technique consiste à regrouper d'un côté du signe = les termes où figurent l'inconnue et de l'autre côté, ceux où ne figure pas l'inconnue. Pour cela, on ajoute ou on soustrait certains termes aux deux membres de l'équation (c'est-à-dire aux deux côtés du signe =). On ne change en effet pas les solutions d'une équation en ajoutant ou en retirant la même quantité à ses deux membres. Ainsi l'équation générale écrite plus haut devient (par ex.) : a x(x)+ b - c x (x)- b = c x(x) + d - c x (x)- b.
  

Cette solution se simplifie en : a x (x) - c x (x) = d-b et le premier membre se simplifie encore grâce à la distributivité de la mutliplication sur la soustraction : a x (x) - c x (x) = (a-c) x (x), d'où finalement : (a-c) x (x)= d - b.
On termine l'équation par une division. Cela est possible dès lors que a-c≠0 car on ne change pas les solutions d'une équation en la divisant ou en la multipliant par un même nombre non nul.
Donc si a-c≠0, on obtient x=d-b/a-c

Exemple numérique :
3x(x)+2 = 7x(x)+4 est équivalent à 3x(x)+2-7x(x)-2 = 7x(x)+4-7x(x)-2
Cette équation se simplifie en 3x(x)-7x(x) = 4-2
(3-7)x = 4-2
-4x = 4-2
Finalement : -4x=2 et x = -2/4 = -1/2

Système de deux équations à deux inconnues

Un système de deux équations du 1er degré à deux inconnues s'écrit dans le cas le plus général :

(a1 x (x) + b1 x y = c1
(a2 x (x) + b2 x y = c2

La première phase de la résolution consiste à éliminer l'une des inconnues (par ex y) dans l'une des équations. On aboutit alors à une équation du 1er degré avec une seule inconnue, x. On résout cette équation et on reporte la valeur trouvée pour x dans l'autre équation... etc.
La difficulté de la résolution réside dans la manière d'éliminer l'une des inconnues d'une des équations.

2 méthodes sont possibles :

• Méthode par substitution :
  

(4 x (x) + 7 x y = 15 (5x (x) + 10x y = 12
La première équation permet d'écrire : 7 x y = 15-4x (x)
Puis y = 15-4x (x)/7 = 15/7-4/7 x (x)
On remplace ("substitue" d'où le nom de la méthode) alors y par cette expression dans la deuxième équation qui devient
5x (x) + 10 x(15/7 - 4/7 x (x) ) = 12
On obtient 5 x (x) - 40/7 x (x)= 12 - 150/7
D'où (5-40/7) x (x) = 84-150/7 = 66/7
Puis (35/7-40/7) x (x) = -66/7
Finalement x = (-66/7) x (-7/5) = 66/5
On reporte ensuite cette valeur de x dans la première équation qui devient :
y = 15/7 - 4/7 x 66/5 = (15x5-4x66/35)= -189/35= -27/5
Conclusion : x = 66/5 et y = -27/5

• Méthode par combinaisons linéaires

Elle consiste au départ à multiplier par ex. la première équation par 5 (parce que c'est le nombre qui multiplie x dans la 2ème équation) et la deuxième par 4 (même raison).
(5x(4x(x)+7xy)=5x15
(4x(5x(x)+10xy)=4x12

soit
(20x(x)+35xy=75
(20x(x)+40xy=48

On a ainsi le même coefficient multiplicateur devant x dans les 2 équations. On va désormais les soustraire l'une à l'autre : il s'agit de la différence membre à membre des deux équations.
On obtient

Inéquations du 1er degré