Résolution de problèmes par l'algèbre (Freesette) : Différence entre versions
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(a1 x (x) + b1 x y = c1 | (a1 x (x) + b1 x y = c1 | ||
(a2 x (x) + b2 x y = c2 | (a2 x (x) + b2 x y = c2 | ||
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+ | La première phase de la résolution consiste à éliminer l'une des inconnues (par ex y) dans l'une des équations. On aboutit alors à une équation du 1er degré avec une seule inconnue, x. On résout cette équation et on reporte la valeur trouvée pour x dans l'autre équation... etc.<br /> | ||
+ | La difficulté de la résolution réside dans la manière d'éliminer l'une des inconnues d'une des équations.<br /> | ||
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+ | 2 méthodes sont possibles : | ||
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===Inéquations du 1er degré=== | ===Inéquations du 1er degré=== |
Version du 11 septembre 2006 à 14:23
Source : CNED
Sommaire
Mise en équations de problèmes mathématiques
Méthodes
- Méthode de fausse position (p.67) : on démarre avec une hypothèse qui a toutes les chances d'être fausse.
- Méthode experte (p.68) : la mise en équation
Synthèse
La résolution experte d'un problème de mathématique passe par les étapes suivantes :
- identification de l'inconnue ou des inconnues du problème (ce que l'on cherche) et choix d'une désignation pour cette ou ces inconnue(s) (une lettre en général).
- Formulation des conditions imposées aux inconnues.
- Mise en équation(s) du problème, en relation avec une lecture approfondie de l'énoncé.
- Résolution technique de l'équation ou des équations obtenues.
- Contrôle du résultat ou des résultats obtenus par report dans l'équation.
- Contrôle par rapport au bon sens (ordre de grandeur...etc.).
- Rédaction de la réponse à la question en n'oubliant pas de faire figurer l'unité.
Résolution d'équations et d'inéquations
Equations du 1er degré
- C'est une égalité qui s'écrit : (1)a x (x) + b = c x (x) + d où les lettres a,b,c,d désignent un nombre et x l'inconnue. On dit que l'équation a deux membres (chacune des expressions qui figurent d'un côté du signe=). Les expressions ax(x), cx(x), b et d sont appelés termes de l'équation.
- Quand on doit résoudre une équation du 1er degré, il est précisé à quel ensemble doit appartenir l'inconnue. On le déduit à l'énoncé (voir le sens du problème).
- Dans les expressions telles que 1, on ne fait généralement pas apparaître le signe x, ce qui permet d'alléger l'écriture. L'équation (1) s'écrit donc : ax+b=cx+d. Si les lettres a,b,c,d prennent la valeur 0, cela modifie la forme de l'équation car certains termes disparaissent.
- Résolution : la résolution technique consiste à regrouper d'un côté du signe = les termes où figurent l'inconnue et de l'autre côté, ceux où ne figure pas l'inconnue. Pour cela, on ajoute ou on soustrait certains termes aux deux membres de l'équation (c'est-à-dire aux deux côtés du signe =). On ne change en effet pas les solutions d'une équation en ajoutant ou en retirant la même quantité à ses deux membres. Ainsi l'équation générale écrite plus haut devient (par ex.) : a x(x)+ b - c x (x)- b = c x(x) + d - c x (x)- b.
Cette solution se simplifie en : a x (x) - c x (x) = d-b et le premier membre se simplifie encore grâce à la distributivité de la mutliplication sur la soustraction : a x (x) - c x (x) = (a-c) x (x), d'où finalement : (a-c) x (x)= d - b.
On termine l'équation par une division. Cela est possible dès lors que a-c≠0 car on ne change pas les solutions d'une équation en la divisant ou en la multipliant par un même nombre non nul.
Donc si a-c≠0, on obtient x=d-b/a-c
- Exemple numérique :
3x(x)+2 = 7x(x)+4 est équivalent à 3x(x)+2-7x(x)-2 = 7x(x)+4-7x(x)-2
Cette équation se simplifie en 3x(x)-7x(x) = 4-2
(3-7)x = 4-2
-4x = 4-2
Finalement : -4x=2 et x = -2/4 = -1/2
Système de deux équations à deux inconnues
Un système de deux équations du 1er degré à deux inconnues s'écrit dans le cas le plus général :
(a1 x (x) + b1 x y = c1 (a2 x (x) + b2 x y = c2
La première phase de la résolution consiste à éliminer l'une des inconnues (par ex y) dans l'une des équations. On aboutit alors à une équation du 1er degré avec une seule inconnue, x. On résout cette équation et on reporte la valeur trouvée pour x dans l'autre équation... etc.
La difficulté de la résolution réside dans la manière d'éliminer l'une des inconnues d'une des équations.
2 méthodes sont possibles :
- Méthode par substitution :