Résolution de problèmes par l'algèbre (Freesette)

Source : CNED

Mise en équations de problèmes mathématiques

Méthodes

• Méthode de fausse position (p.67) : on démarre avec une hypothèse qui a toutes les chances d'être fausse.
• Méthode experte (p.68) : la mise en équation

Synthèse

La résolution experte d'un problème de mathématique passe par les étapes suivantes :

• identification de l'inconnue ou des inconnues du problème (ce que l'on cherche) et choix d'une désignation pour cette ou ces inconnue(s) (une lettre en général).
• Formulation des conditions imposées aux inconnues.
• Mise en équation(s) du problème, en relation avec une lecture approfondie de l'énoncé.
• Résolution technique de l'équation ou des équations obtenues.
• Contrôle du résultat ou des résultats obtenus par report dans l'équation.
• Contrôle par rapport au bon sens (ordre de grandeur...etc.).
• Rédaction de la réponse à la question en n'oubliant pas de faire figurer l'unité.

Résolution d'équations et d'inéquations

Equations du 1er degré

• C'est une égalité qui s'écrit : (1)a x (x) + b = c x (x) + d où les lettres a,b,c,d désignent un nombre et x l'inconnue. On dit que l'équation a deux membres (chacune des expressions qui figurent d'un côté du signe=). Les expressions ax(x), cx(x), b et d sont appelés termes de l'équation.

• Quand on doit résoudre une équation du 1er degré, il est précisé à quel ensemble doit appartenir l'inconnue. On le déduit à l'énoncé (voir le sens du problème).

• Dans les expressions telles que 1, on ne fait généralement pas apparaître le signe x, ce qui permet d'alléger l'écriture. L'équation (1) s'écrit donc : ax+b=cx+d. Si les lettres a,b,c,d prennent la valeur 0, cela modifie la forme de l'équation car certains termes disparaissent.

• Résolution : la résolution technique consiste à regrouper d'un côté du signe = les termes où figurent l'inconnue et de l'autre côté, ceux où ne figure pas l'inconnue. Pour cela, on ajoute ou on soustrait certains termes aux deux membres de l'équation (c'est-à-dire aux deux côtés du signe =). On ne change en effet pas les solutions d'une équation en ajoutant ou en retirant la même quantité à ses deux membres. Ainsi l'équation générale écrite plus haut devient (par ex.) : a x(x)+ b - c x (x)- b = c x(x) + d - c x (x)- b.

Cette solution se simplifie en : a x (x) - c x (x) = d-b et le premier membre se simplifie encore grâce à la distributivité de la mutliplication sur la soustraction : a x (x) - c x (x) = (a-c) x (x), d'où finalement : (a-c) x (x)= d - b. On termine l'équation par une division. Cela est possible dès lors que a-c≠0 car on ne change pas les solutions d'une équation en la divisant ou en la multipliant par un même nombre non nul. Donc si a-c≠0, on obtient x=d-b/a-c

• Exemple numérique :

3x(x)+2 = 7x(x)+4 est équivalent à 3x(x)+2-7x(x)-2 = 7x(x)+4-7x(x)-2
Cette équation se simplifie en 3x(x)-7x(x) = 4-2
(3-7)x=4-2
-4x=4-2

Finalement : -4x=2 et x = -2/4 = -1/2