Représentations graphiques de fonctions (Freesette)

Représentations graphiques

Généralités

Repères
Un repère du plan est un triplet de points non alignés. O est l'origine du repère. L'axe des abscisses est la droite (OI) sur laquelle on a choisi l'origine O, le sens de O vers I et l'unité OI. L'axe des ordonnées est de même la droite (OJ) sur laquelle on a choisi l'origine O, le sens de O vers J et l'unité OJ.

Le repère est orthogonal si le triangle OIJ est rectangle en O et le repère est orthonormé si de plus OI=OJ.

Schéma : Media:schéma-repères.jpg

Mesures algébriques
Quand on travaille sur un axe, ou sur une parallèle à un axe, avec des points M et M' d'abscisses respectives x et x', la mesure algébrique MM' (surmontée par un trait horizontal) est par définition le réel x'-x.

• si l'abscisse x' de M' est strictement supérieure à l'abscisse x de M, x'-x est positif et la mesure algébrique MM', qui est positive est la distance de M à M' déterminée en utilisant l'unité OI.
• si l'abscisse x' de M' est strictement inférieure à l'abscisse x de M, x'-x est négatif et la mesure algébrique MM', qui est négative, est l'opposé de la distance de M à M' calculée en utilisant l'unité OI.
  

La mesure algébrique indique donc en plus de la distance un sens de l'axe.

Représentation graphique
Soit A et B des parties de R et ƒ une fonction de A dans B. La représentation graphique de ƒ est l'ensemble C des points de M de coordonnées (x,y) tels que :
(x∈A
(y=ƒ(x) si ƒ(x) existe
On dit que C a pour équation y = ƒ(x)

Conséquences

• M(x,y) ∈ C si et seulement si x ∈ A, on peut calculer ƒ(x) et y = ƒ(x). Donc pour un élément x de A, si x a une image par ƒ, il y a un point de C d'abscisse x et si x n'a pas d'image par ƒ, il n'y a aucun point de C d'abscisse x.
• La représentation graphique de la fonction ƒ ne peut pas avoir l'allure de la figure 2 ou 3 sur le document ci-dessous car dans ces deux derniers cas, il existe des points distincts de la courbe qui ont la même abscisse.
  

Schémas : Media:Graphiques.jpg

Représentation graphique d'une fonction affine

Cas général
On admettra que la représentation graphique d'une fonction affine est constituée de points alignés.

Exemple 1

• La représentation graphique de la fonction :

(ƒ: R → R
(x → 2-0,5x
est une droite.
Pour la tracer, il faut en déterminer 2 points : pour ce faire, on choisit deux valeurs de x et pour chacune d'elles on calcule ƒ(x). La représentation graphique de ƒ est une droite dont l'équation est y=2-0,5x.

• Ordonnée à l'origine : ƒ(0)=2 est le coefficient constant de ƒ. Cette valeur est la mesure algébrique du segment [ON] (point où la droite coupe l'axe des ordonnées) sur la représentation graphique. Le signe positif (2) signifie que le point N est au-dessus de l'origine (O). Ce coefficient 2 est appelé ordonnée à l'origine de la droite d.
• Coefficient directeur : on le calcule à partir de 2 points quelconque sur la droite d. Soit le point M de la droite et x son abscisse ; son ordonnée est donc ƒ(x). Si x augmente de 1, ƒ(x) augmente de (-0,5x1)= -0,5. Donc ƒ(x+1) = ƒ(x)+(-0,5) et le point de M" d'abscisse x+1 et d'ordonnée ƒ(x)+(-O,5) est un point de d. On trouve le coefficient (-0,5) de x de la fonction affine ƒ sur la représentation graphique comme mesure algébrique du segment [M'M"] : M'M" (avec la barre horizontale) = - 0,5.Il s'agit du coefficient directeur de la droite.

Schéma : Media:graphique droite.jpg

Exemple 2
La représentation graphique de la fonction g :
[-4,6] → R
x → -2x+4
est un segment de droite. Comme g(-4) = 12 et g(6) = -8 le segment a pour extrémité les points R (-4;12) et S (6;-8).

Exemple 3
La représentation graphique de la fonction h :
h:[1,+∞[ → R
x → -2x+4
est une demi-droite. Comme h(1)=5, la demi-droite a pour origine le point T(1;5). Pour la construire, on doit déterminer un autre point.

Recherche de l'équation d'une droite

Cas particulier

Cas général où la droite n'est parallèle à aucun axe