Représentations graphiques de fonctions (Freesette)

Généralités

Repères

Un repère du plan est un triplet de points non alignés. O est l'origine du repère. L'axe des abscisses est la droite (OI) sur laquelle on a choisi l'origine O, le sens de O vers I et l'unité OI. L'axe des ordonnées est de même la droite (OJ) sur laquelle on a choisi l'origine O, le sens de O vers J et l'unité OJ.

Le repère est orthogonal si le triangle OIJ est rectangle en O et le repère est orthonormé si de plus OI=OJ.

Schéma : Media:schéma-repères.jpg

Mesures algébriques

Quand on travaille sur un axe, ou sur une parallèle à un axe, avec des points M et M' d'abscisses respectives x et x', la mesure algébrique MM' (surmontée par un trait horizontal) est par définition le réel x'-x.

• si l'abscisse x' de M' est strictement supérieure à l'abscisse x de M, x'-x est positif et la mesure algébrique MM', qui est positive est la distance de M à M' déterminée en utilisant l'unité OI.
• si l'abscisse x' de M' est strictement inférieure à l'abscisse x de M, x'-x est négatif et la mesure algébrique MM', qui est négative, est l'opposé de la distance de M à M' calculée en utilisant l'unité OI.
  

La mesure algébrique indique donc en plus de la distance un sens de l'axe.

Représentation graphique

Soit A et B des parties de R et ƒ une fonction de A dans B. La représentation graphique de ƒ est l'ensemble C des points de M de coordonnées (x,y) tels que :
(x∈A
(y=ƒ(x) si ƒ(x) existe
On dit que C a pour équation y = ƒ(x)

Conséquences

• M(x,y) ∈ C si et seulement si x ∈ A, on peut calculer ƒ(x) et y = ƒ(x). Donc pour un élément x de A, si x a une image par ƒ, il y a un point de C d'abscisse x et si x n'a pas d'image par ƒ, il n'y a aucun point de C d'abscisse x.
• La représentation graphique de la fonction ƒ ne peut pas avoir l'allure de la figure 2 ou 3 sur le document ci-dessous car dans ces deux derniers cas, il existe des points distincts de la courbe qui ont la même abscisse.
  

Schémas : Media:Graphiques.jpg

Représentation graphique d'une fonction affine

Cas général
On admettra que la représentation graphique d'une fonction affine est constituée de points alignés.

Exemple 1

• La représentation graphique de la fonction :

(ƒ: R → R
(x → 2-0,5x
est une droite.
Pour la tracer, il faut en déterminer 2 points : pour ce faire, on choisit deux valeurs de x et pour chacune d'elles on calcule ƒ(x).
x= -4 et 6 / ƒ(x) = 4 et -1.
La représentation graphique de ƒ est une droite dont l'équation est y=2-0,5x.

• Ordonnée à l'origine : ƒ(0)=2 est le coefficient constant de ƒ. Cette valeur est la mesure algébrique du segment [ON] (point où la droite coupe l'axe des ordonnées) sur la représentation graphique. Le signe positif (2) signifie que le point N est au-dessus de l'origine (O). Ce coefficient 2 est appelé ordonnée à l'origine de la droite d.
• Coefficient directeur : on le calcule à partir de 2 points quelconque sur la droite d. Soit le point M de la droite et x son abscisse ; son ordonnée est donc ƒ(x). Si x augmente de 1, ƒ(x) augmente de (-0,5x1)= -0,5. Donc ƒ(x+1) = ƒ(x)+(-0,5) et le point de M" d'abscisse x+1 et d'ordonnée ƒ(x)+(-O,5) est un point de d. On trouve le coefficient (-0,5) de x de la fonction affine ƒ sur la représentation graphique comme mesure algébrique du segment [M'M"] : M'M" (avec la barre horizontale) = - 0,5.Il s'agit du coefficient directeur de la droite.

Schéma : Media:graphique droite.jpg

Exemple 2

La représentation graphique de la fonction g :
[-4,6] → R
x → -2x+4
est un segment de droite. Comme g(-4) = 12 et g(6) = -8 le segment a pour extrémité les points R (-4;12) et S (6;-8).

Exemple 3

La représentation graphique de la fonction h :
h:[1,+∞[ → R
x → -2x+4
est une demi-droite. Comme h(1)=5, la demi-droite a pour origine le point T(1;5). Pour la construire, on doit déterminer un autre point.

Représentation graphique d'une fonction linéaire

• La représentation graphique d'une fonction linéaire de R dans R est une droite passant par l'origine.
• Exemple : soit ƒ : R → R
  

x → -4/3x
On a x = 3, donc ƒ(x)= -4. Deux points sont ainsi obtenus : V(3;-4). La droite (OV) d'équation y = -4/3x

Représentation graphique d'une fonction affine par intervalles

La représentation graphique est un segment. C'est le cas lorsque l'on représente des données qui évoluent. Par ex., le forfait de location de voiture qui évolue avec le nombre de km parcourus. On établit plusieurs intervalles pour représenter les divers coûts. Exemple :
x = km
c = le coût
On sait qu'entre 0 et 100km, la journée est à 0,41 €. Au-delà et jusqu'à 1000 km, elle est à 0,18 € en plus par km. On veut la louer une journée. On l'écrit sous la forme :
c(x) = 41,01 si O≤x≤100
c(x)= 41,01 + 0,18 x (x-100)= 23,01+0,18x si 100≤x≤1000
La fonction exprimant le coût en fonction de la distance pacourue en km est affine par intervalle. Pour calculer, on donne des valeurs à x : dans le 1er cas, x= 0 et x=100 et dans le deuxième cas, x=200 et x=1000.

Recherche de l'équation d'une droite

Cas particulier

• si la droite est parallèle à l'axe des abscisses, son équation est du type y=b
• si la droite est parallèle à l'axe des ordonnées, son équation est du type x=c

Cas général

... où la droite n'est parallèle à aucun des axes.
Son équation est du type y=ax+b. Il suffit de connaître 2 points pour trouver l'équation.

Parallèlisme et orthogonalité

• Des droites d et d' non parallèles à l'axe des ordonnées sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.
• On suppose le repère orthonormé. Des droites d et d' non parallèles à l'axe des ordonnés sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à -1.