Triangles : Différence entre versions
De CRPE
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'''Pour démontrer qu'un triangle est rectangle''' : | '''Pour démontrer qu'un triangle est rectangle''' : | ||
* Il a deux côtés perpendiculaires et par conséquent un angle droit ; | * Il a deux côtés perpendiculaires et par conséquent un angle droit ; | ||
| − | * Utiliser le ''théorème de Pythagore'' : dans un triangle rectangle, le carré de l'hypothénuse est égal à la somme des carrés des | + | * Utiliser le ''théorème de Pythagore'' : dans un triangle rectangle, le carré de l'hypothénuse est égal à la somme des carrés des côtés de l'angle droit = BC=BA+AC ''(au carré - revoir clavier)'' ; |
* Le cercle de diamètre de l'hypothénuse passe par A (= l'angle de 90°) | * Le cercle de diamètre de l'hypothénuse passe par A (= l'angle de 90°) | ||
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* Il a deux côtés perpendiculaires et par conséquent un angle droit ; | * Il a deux côtés perpendiculaires et par conséquent un angle droit ; | ||
* Il a deux côtés égaux. | * Il a deux côtés égaux. | ||
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===Tracer un triangle=== | ===Tracer un triangle=== | ||
Version du 25 octobre 2006 à 12:25
Ecriture :
- côtés : [AB]...
- sommet : A, B...
- angles : Â...
Triangles
- Un triangle a 3 côtés et 3 sommets qui sont aussi 3 angles.
- La somme des angles est égale à 180° = angle plat.
- La longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés
A connaître
- Médiane et centre de gravité :
- Hauteur : l'expression "hauteur d'un triangle" désigne une droite, ou un segment, ou la longueur de ce segment. Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.
- 0rthocentre :
- Médiatrice : la médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu. C'est un axe de symétrie du segment. Propriétés : 1/un point situé sur la médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités du segment. 2/un point équidistant des extrémités d'un segment est situé sur la médiatrice de ce segment.
- Médiatrice d'un triangle et cercle circonscrit : 1/les trois médiatrices d'un triangle se coupent en un même point. Elles sont concourantes. 2/on peut tracer un cercle qui passe par les 3 sommets d'un triangle. Ce cercle est le cercle circonscrit au triangle. 3/ le centre du cercle est le point de concours des trois médiatrices.
- Bissectrice et centre du cercle inscrit
Démonstrations
Pour démontrer qu’un triangle est isocèle, il suffit de prouver qu’il possède l’une de propriétés suivantes :
- Il a deux côtés égaux ;
- Il a deux angles égaux ;
- Deux des quatre droites remarquables relatives à un même sommet sont confondues.
Pour démontrer qu’un triangle est équilatéral, il suffit de prouver qu’il possède l’une de propriétés suivantes :
- Il a trois côtés égaux ;
- Il a deux angles égaux à 60° (le troisième est aussi égal à 60°);
- C’est un triangle isocèle ayant un angle de 60° ;
- Pour deux des trois sommets, deux des quatre droites remarquables relatives à chaque sommet sont confondues.
Pour démontrer qu'un triangle est rectangle :
- Il a deux côtés perpendiculaires et par conséquent un angle droit ;
- Utiliser le théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de l'hypothénuse est égal à la somme des carrés des côtés de l'angle droit = BC=BA+AC (au carré - revoir clavier) ;
- Le cercle de diamètre de l'hypothénuse passe par A (= l'angle de 90°)
Pour démontrer qu'un triangle est rectangle isocèle :
- Il a deux côtés perpendiculaires et par conséquent un angle droit ;
- Il a deux côtés égaux.
Tracer un triangle
- Quand on connaît les longueurs des 3 côtés : commencer par tracer un segment à la règle et poursuivre les 2 autres segments au compas en partant des points du 1er segment tracé.
- Quand on connaît les longueurs des deux côtés et l'angle compris entre ces côtés : on trace le côté connu le plus grand, on trace l'angle connu et la deuxième droite pour ensuite compléter le triangle.
- Quand on connaît la longueur d'un côté et les deux angles adjacents : on trace le côté connu, le 1er angle, le second angle et on complète le triangle.
Quadrilatères'
Un quadrilatère a 4 côtés et 4 sommets qui sont aussi 4 angles.
Pour démontrer qu’un quadrilatère non croisé est un parallélogramme, il suffit de démontrer qu’il possède l’une des propriétés suivantes :
- Ses côtés opposés sont parallèles ;
- Ses diagonales ont le même milieu ;
- Ses côtés opposés sont égaux ;
- Ses angles opposés sont égaux ;
- Deux côtés opposés sont égaux et parallèles.
Pour démontrer qu’un quadrilatère non croisé est un rectangle, il suffit de démontrer qu’il possède l’une des propriétés suivantes :
- 4 angles droits ;
- Les côtés opposés sont de même longueur ;
- Les diagonales ont la même longueur.
Pour démontrer qu’un quadrilatère non croisé est un losange, il suffit de démontrer qu’il possède l’une des propriétés suivantes :
- Ses quatre côtés sont égaux ;
- Ses diagonales ont même milieu et sont perpendiculaires;
- C’est un parallélogramme dont deux côtés consécutifs sont égaux ;
- C’est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires.
Pour démontrer qu’un quadrilatère non croisé est un carré, il suffit de démontrer qu’il possède l’une des propriétés suivantes :
- C’est un rectangle : 4 angles droits ;
- C’est un losange : 4 côtés de même longueur.
