Géométrie - Théorème de Pythagore (Freesette)

Le théorème

• Enoncé : soit un triangle ABC. Ce triangle est rectangle en A si et seulement si BC²=AB²+AC².

• L'égalité BC²=AB²+AC² peut être lue de la façon suivante : le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés de l'angle droit.

• Pythagore permet en particulier de calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle lorsqu'on connaît les longueurs des deux autres côtés : si on connaît AB et AC, la longueur de [BC] est donnée par BC²=AB²+AC² ; si on connaît AB et BC alors AC est donnée par AC²=BC²-AB².

Applications

• la mesure de la longueur de la diagonale d'un carré de côté a (a ∈ R+) est a√2. ABCD est un carré de côté a. Le triangle ABD est rectangle en A donc d'après le théorème de Pythagore, BD²=AB²+AD². Comme AB=AD=a, on trouve BD²=2a². BD étant une distance, BD≻0 et a est un nombre positif d'où BD=a√2.

• ex : la longueur des diagonales d'un rectangle de côtés 3cm et 4cm est 5cm. ABCD est un rectangle dont la longueur et la largeur mesurent respectivement 4cm et 3cm donc AB=4 et AD=3. Le triangle ABD est rectangle en A donc d'après le théorème de Pythagore, BD²=AB²+AD². Donc BD²=16+9=25.

Des nombres tels que les précédents, rangés dans l'ordre (3,4,5) sont appelés triplets pythagoriciens. Ils peuvent représenter les dimensions des côtés d'un rectangle suivies de la mesure de sa diagonale.

• la mesure h de la hauteur d'un triangle équilatéral de côté a (a ∈ R+) est égale à a√3/2. Les 3 hauteurs d'un triangle équilatéral ont même longueur, on peut donc calculer la longueur de n'importe quelle hauteur. Ex : soit ABC un triangle équilatéral de côté a et H le pied de la hauteur issue de B. Comme le triangle est équilatéral, sa hauteur (HB) est aussi la médiatrice de [AC].
  

On a donc AH=a/2
Le triangle AHB est rectangle en H par hypothèse donc d'après le théorème de Pythagore, AB²=AH²+HB² soit a²=(a/2)²+HB² et HB²=a²-(a/2)² = a²-a²/4=3a²/4
On en déduit que HB = √3a²/4 = a√3/2 car HB et a sont positifs.