Calculs (Freesette)

Source : CNED

L'addition dans N

Définitions

• 1ère définition dans N : Considérons 2 ensembles disjoints A, de cardinal fini égal à a, et B de cardinal fini égal à b (ce qui signifie que a et b sont deux nombres entiers naturels, éventuellement égaux à 0, que A possède a éléments et que B possède b éléments).

Si on considère que le procécé, qui au couple (a;b) associe le cardinal de la réunion de A et de B, alors on définit une loi de composition interne sur N que l'on appelle addition sur N. Si on note a+b le résultat de l'opération, on a alors par définition : a+b=Card(A∪B). On dit que l'on a calculé la somme de a et de b.

• 2ème définition dans N : on considère un nombre entier naturel a et son successeur immédiat noté a"petit 1", c'est-à-dire le plus petit nombre entier strictement supérieur à a. On admettra que ce nombre existe toujours (on avance d'une unité sur la droite numérique).

Considérons un autre entier naturel b. Si l'on avance de b unités sur la droite numérique, on atteint un nombre s. On peut alors définir une loi de composition interne sur N en associant au couple (a;b) ce nombre s, obtenu en effectuant b sauts de une unité à partir de a sur la droite numérique. Par définition, on dira que s est la somme de a et de b et on écrira a+b=s.

Propriétés de l'addition dansN

• elle est commutative : ex : 3+2=2+3
• elle est associative : (5+7)+6 = 5+(7+6)
• elle dispose d'un élément neutre : 0
• elle est compatible avec la relation d'ordre. Cela signifie que si a,b et c sont 3 trois entiers naturels tels que a≤b, alors a+c≤b+c. Conséquence admise  : si d est un autre entier naturel et si a≤b et c≤d, alors a+c≤b+d

La multiplication dans N

Définitions

• 1ère définition dans N : considérons deux ensembles A, de cardinal fini égal à a et B, de cardinal fini égal à b. On constitue le produit cartésien de A et B, noté AxB.

On considère alors le procédé qui, au couple (a;b), associe le cardinal de AxB, c'est-à-dire le nombre de couples obtenus en faisant le produit cartésien (Cf. Opérations (Freesette)). On définit de cette manière une loi de composition interne sur N que l'on appelle multiplication sur N. On dit que l'on fait le produit de a par b et, par convention, on note axb le résultat de l'opération (ou a.b ou ab).

• 2ème définition dans N : Considérons 2 nombres entiers naturels non nuls a et b. A l'aide de l'addition, on sait ajouter le nombre b à lui-même autant de fois qu'on le souhaite. Si on considère le procédé qui au couple (a;b) associe la somme de b+b+b... dans lequel le terme b est répété a fois, alors on définit une loi de composition interne sur N. Le produit de a par b, que l'on note axb, est la somme b+b+... dans laquelle le terme b apparaît a fois. Si a=5 et b=8, on peut écrire 5x8 = 40 ou 8+8+8+8+8 = 40. La deuxième écriture est la somme "itérée". Dans l'expression "le produit de 8 par 7", les nombres 8 et 7 sont appelés facteurs du produit.

Propriétés

• elle est commutative : 4x3=3x4
• elle est associative : (8x5)x7=8x(5x7)
• elle dispose d'un élément neutre : 1
• elle est distributive sur l'addition et la soustraction : 3x(12+9) = (3X12)+(3X9)
• elle est compatible avec la relation d'ordre. Si a,b,c sont 3 entiers naturels tels que a≤b, alors axc≤bxc. Conséquence admise : si 0≤a≤b≤c≤d, alors 0≤axc≤bxd
• le nombre 0 dispose d'un statut particulier pour la multiplication puisque le produit de tout élément N par 0 est égal à 0.

La soustraction

Définitions

• 1ère définition dans N : Ensemble B inclus dans A cette fois-ci. On nomme C l'ensemble constitué par les éléments de A qui ne sont pas des éléments de B (C est appelé l'ensemble complémentaire de B dans A). On considère le procédé qui, au couple (a;b), associe le cardinal de C et l'appeler soustraction sur N.

Lorsque les nombres a et b sont tels que a≥b, on peut noter a-b le résultat du procédé défini ci-dessus et l'on a donc a-b=Card(C). On dit que l'on a calculé la différence de a et de b. La différence de a et de b est le nombre qu'il faut ajouter à b pour trouver a.

• 2ème définition dans N :

Nous avons a : on passe de a à a "petit 1" sur la droite numérique. Nous avons aussi b, autre entier naturel inférieur ou égal à a. Si l'on recule de b unités sur la droite numérique (ce qui revient à considérer le prédecesseur du prédecesseur du prédecesseur... de a), on atteint un nombre entier d positif ou nul. a-b=d. Tout comme dans la première définition, ce procédé défini ici n'est pas une loi de composition interne sur N puisqu'il ne fonctionne que pour a≥b.

Dans l'expression "la différence de 14 et de 8" par exemple, les nombres 14 et 8 sont appelés termes de la différence.

Propriétés

Tout en se rappelant que la soustraction sur N n'est pas une loi de composition interne :

• elle n'est pas commutative
• elle n'est pas associative
• elle n'a pas d'élément neutre. 0 a un statut particulier. Sans être un élément neutre, on a tout de même pour tout nombre n, n-0=n et n-n=0.
• elle est compatible avec la relation d'ordre, ce qui signifie que si a,b, et c, c étant inférieur ou égal à a et à b, sont 3 entiers naturels tels que a≤b, alors a-c≤b-c.
• elle possède la propriété dite des différences égales : on ne modifie pas une différence en ajoutant le même nombre à ses deux termes.